Giampaolo Bottoni: versione 20090423
http://www.elegio.it/mc2/Ricci-Riemann.html
Vedere anche: http://www.elegio.it/mc2/maxwell-generale.html

Avvertenza 1: nel seguito uso il carattere ":" (un duepunti in grassetto) per indicare la derivata covariante e il carattere "/" ( barra in grassetto) per indicare la derivata ordinaria; gli indici sono sempre separati tra loro o da una virgola o da un duepunti o da una barra perché in questo modo sono possibili indici multicaratteri. L'uso del duepunti è insolito perché la maggioranza degli autori preferisce il puntoevirgola per la derivata covariante e la virgola per la derivata ordinaria ma, in questo modo non ho più un simbolo per separare indici multicaratteri e poi trovo mnemonico il fatto che sia il duepunti che la barra in certi contesti indicano entrambi l'operazione di divisione. Dirac usa i duepunti per la derivata covariante ma la virgola per la derivata ordinaria. Mi scuso per queste mie convenzioni personali che però trovo piuttosto ...ragionevoli. L'operazione di moltiplicazione non è mai sottintesa ma sempre indicata con l'operatore "·" ed anche questo viene fatto per consentire l'eventuale uso di nomi ovvero simboli multicarattere.
Avvertenza 2: il rischio di commettere errori nel calcolo tensoriale o per pura distrazione o avendo mescolato formule tratte da vari autori senza accorgersi della presenza di convenzioni diverse e tra loro in contrasto, è fortissimo. NON ho verificato queste formule con alcun software di calcolo simbolico e dunque... declino ogni responsabilità ma gradirei molto sapere che qualcuno ha verificato al calcolatore le formule che qui riporto... trovandole ( spero) corrette.

Dal tensore di Riemann-Christoffel al tensore di Ricci

Il tensore di Riemann è un tensore a quattro indici quindi teoricamente, in quattro dimensioni, potrebbe avere 256 componenti distinte. In realtà sfruttando tutte le sue simmetrie si trova che ne ha N²·(N² − 1 )/12. Ponendo N=4 si trova 16*15/12 = 20 componenti distinte. Dato che i vari autori non sono tra loro coerenti trascrivo la formula precisando che è tratta dal Landau-Lifšits a pag. 341 [ formula (91,4) ]; noto che anche l'Hobson adotta questa definizione riportata a pag. 158 [ formula (7.13) ] :

[1]

R^a_,b,c,d = Γ^a_{,b,d /c} − Γ^a_{,b,c /d} + Γ^a_,c,k·Γ^k_,b,d − Γ^a_,d,k·Γ^k_,b,c
La precedente formula, complicata ma non complicatissima presenta, all'atto pratico, una difficoltà ossia il fatto di dover effettuare derivate parziali ordinarie dei simboli di Christoffel di seconda specie. Tali simboli sono ottenuti dai simboli di Christoffel di prima specie elevando il primo indice tramite il tensore metrico controvariante. Ma questo implica che per derivare i simboli di Christoffel di seconda specie è necessario saper derivare le componenti del tensore metrico controvariante il che non è banale. Dall'identità g^a,b_:c = 0 si deduce che:

[2]

g ^a,b_/c = − Γ^a_,m,c·g ^m,b − Γ^b_,m,c·g ^m,a
Le simmetrie del tensore di Riemann sono più evidenti scrivendo il tensore in forma totalmente covariante ( tutti e quattro gli indici in basso ) ma a questo punto non bisogna cadere nel trabocchetto di abbassare il primo indice della formula [1] usando il tensore metrico covariante. Non è lecito infatti alzare o abbassare indici di una grandezza che è derivata con la derivazione parziale ordinaria. Solo la derivazione covariante infatti permuta con il tensore metrico e dunque... attenti a non sbagliare. Per ottenere la versione del tensore di Riemann totalmente covariante bisogna ricavare l'espressione della derivata ordinaria dei simboli di Christoffel di seconda specie che, come è noto, sono ottenuti da quelli di prima specie con la formula:

[3]

Γ^a_,b,c = g ^a,n · Γ_n,b,c
dove:

[4]

Γ_a,b,c = ( − g_{a,b /c} + g_{a,c /b} + g_{b,c /a} )/2
Pertanto la derivata di un simbolo di Christoffel di seconda specie è data da:

[5]

Γ^a_,b,c,/d = g ^a,m· ( Γ_m,b,c/d − Γⁿ_m,d · Γ_n,b,c ) − Γ^a_,m,d· Γ^m_,b,c
Questa formula ha una notevole importanza pratica perché consente di calcolare direttamente il tensore di Riemann scritto col solo primo indice controvariante. L'alternativa è quella di calcolare il tensore di Riemann in forma totalmente covariante e poi alzare l'indice che occorre.
Evidenziando le derivate seconde il tensore di Riemann ( vedere pag. 159 dell' Hobson ed altri ) ha questa espressione:

[6]

R_a,b,c,d = ( g_{b,c /a/d} − g_{a,c /b/d} + g_{a,d /b/c} − g_{b,d /a/c} )/2 − g^h,k·( Γ_h,a,c·Γ_k,b,d − Γ_h,a,d·Γ_k,b,c )
Esaminiamo le simmetrie di R_a,b,c,d .

1) emisimmetrico rispetto ai primi due indici

[7]

R_b,a,c,d = − R_a,b,c,d

2) emisimmetrico rispetto agli ultimi due indici

[8]

R_a,b,d,c = − R_a,b,c,d

3) La somma della rotazione dei tre ultimi indici è nulla

[9]

R_a,b,c,d + R_a,d,b,c + R_a,c,d,b = 0

4) simmetrico rispetto allo scambio della prima coppia di indici con la seconda

[10]

R_c,d,a,b = R_a,b,c,d

5) Identico con gli indici in ordine inverso

[11]

R_d,c,b,a = R_a,b,c,d
Ovviamente alcune di queste proprietà sono deducibili dalle altre ma è comodo tenerle presente in modo distinto.

Il tensore di Ricci

Un tensore doppio si può ottenere contraendo tra loro due dei quattro indici di un tensore quadruplo. Ma esistono sei modi diversi di contrarre una coppia di indici di un tensore quadruplo ossia il primo col secondo oppure col terzo oppure col quarto, il secondo col terzo oppure col quarto e il terzo col quarto. Dato che, però il tensore di Riemann gode di parecchie simmetrie, da esso non si possono ottenere sei diversi tensori di second'ordine ma soltato uno ( a parte il segno ) o il tensore identicamente nullo.
Elenco le sei possibilità:

[12]

R^b_,b,c,d = 0
R^c_,b,c,d = − R_b,d
R^d_,b,c,d = R_b,c
R_a^,c_,c,d = R_a,d
R_a^,d_,c,d = − R_a,c
R_a,b^,d_,d = 0
Il tensore di Ricci è simmetrico:

[13]

R_a,b = R_b,a
Il piccolo/grosso guaio è che gli autori NON usano sempre la stessa definizione di tensore di Ricci. Alcuni lo definiscono come la contrazione tra il primo e l'ultimo indice del tensore di Riemann ( convenzione adottata dal testo di P.A.M.Dirac, cap. 14 oppure l'Hobson,Efstathiou,Lasenby a pag.162, cap. 7.11 oppure da Barry Spain formula 33.1 ) oppure, con conseguenze identiche, la contrazione tra secondo e terzo indice ( come fa il Finzi Pastori a pag. 183, formula 55) mentre altri lo definiscono come la contrazione tra il secondo e l'ultimo indice del tensore di Riemann ( come Robert M. Wald, formula 3.2.25 ed anche N.M.J. Woodhouse a pag. 90 del suo libro "General Relativity") oppure, con conseguenze identiche, la contrazione tra il primo ed il terzo indice ( convenzione adottata dal Landau-Lifšits , formula 92,6 "Teoria dei campi" ed anche Misner,Thorne e Wheeler in "Gravitation" a pag.222 nella 8.47). Le due famiglie di definizioni differiscono, come si è visto, per il segno e dunque ... bisogna fare attenzione ai segni !
Qui si adotta la definizione della prima famiglia ossia contrazione tra primo ed ultimo indice o tra secondo e terzo.

Il tensore di Riemann è antisimmetrico rispetto allo scambio tra loro della prima coppia di indici, antisimmetrico rispetto allo scambio tra loro della seconda coppia di indici e simmetrico rispetto allo scambio della prima con la seconda coppia. Per esempio:

R₃₂₀₃ = − R₂₃₀₃ = − R₀₃₂₃
Sfruttando le simmetrie si può fare sempre in modo che il primo indice sia minore del secondo, che il terzo sia minore del quarto, che il primo non sia maggiore del terzo e se primo e terzo sono uguali, il secondo non sia superiore al quarto.
Date queste regole vediamo quali sono le componenti indipendenti ( a parte il segno ):
In quattro dimensioni si ha:
R₀₁₀₁ , R₀₁₀₂ , R₀₁₀₃ , R₀₁₁₂ , R₀₁₁₃ ,
R₀₁₂₃ = R₀₂₁₃ − R₀₃₁₂ ,
R₀₂₀₁ = R₀₁₀₂ ,
R₀₂₀₂ , R₀₂₀₃ , R₀₂₁₂ , R₀₂₁₃ , R₀₂₂₃ ,
R₀₃₀₁ = R₀₁₀₃ ,
R₀₃₀₂ = R₀₂₀₃ ,
R₀₃₀₃ , R₀₃₁₂ , R₀₃₁₃ , R₀₃₂₃ ,
R₁₂₀₁ = R₀₁₁₂ ,
R₁₂₀₂ = R₀₂₁₂ ,
R₁₂₀₃ = R₀₃₁₂ ,
R₁₂₁₂ , R₁₂₁₃ , R₁₂₂₃ ,
R₁₃₀₁ = R₀₁₁₃ ,
R₁₃₀₂ = R₀₂₁₃ ,
R₁₃₀₃ = R₀₃₁₃ ,
R₁₃₁₂ = R₁₂₁₃ ,
R₁₃₁₃ , R₁₃₂₃ ,
R₂₃₀₁ = R₀₁₂₃ ,
R₂₃₀₂ = R₀₂₂₃ ,
R₂₃₀₃ = R₀₃₂₃ ,
R₂₃₁₂ = R₁₂₂₃ ,
R₂₃₁₃ = R₁₃₂₃ ,
R₂₃₂₃

In quattro dimensioni dunque trovo che i termini indipendenti del tensore di Riemann sarebbero ... 21 ma sussiste anche la regola che mantenendo fisso un indice e ruotando circolarmente gli altri tre la somma dei tre elementi è nulla. Questo vuol dire che R₀₁₂₃ + R₀₃₁₂ + R₀₂₃₁ = 0 ma R₀₂₃₁ coincide con − R₀₂₁₃ per cui R₀₂₁₃ è dato da ( R₀₁₂₃ + R₀₃₁₂ ) e dunque il termine R₀₂₁₃ NON è un termine indipendente. Dunque, come previsto, è confermata la formula secondo cui dato N il numero di dimensioni, i termini indipendenti devono essere N·N·(N·N − 1 )/12 ossia 20 se N=4.

Regola di commutazione degli indici di derivazione

Dato un generico vettore covariante A_j , la formula da applicare nel commutare gli indici di derivazione è:

[14]

A_j:n:p − A_j:p:n = A^h·R_h,j,n,p = A_h·R^h_,j,n,p
Ma ovviamente questa relazione può essere scritta in vari altri modi come ad esempio invertendo l'ordine degli indici:

[15]

A_j:n:p − A_j:p:n = A^h·R_p,n,j,h = A_h·R_p,n,j^,h
Se il vettore da derivare doppiamente è controvariante ossia A^j, si ha, tra le tante possibilità di esprimere la relazione, la seguente:

[16]

A^j_:n:p − A^j_:p:n = A^h·R^j_,h,p,n

Contrazione di un vettore con uno dei due indici di derivazione

Dato un vettore doppiamente derivato è possibile contrarre l'indice del vettore con il primo o con il secondo indice di derivazione. L'operazione in genere produce risultati diversi e la differenza tra le due contrazioni dipende dal valore del tensore di Ricci. Le due contrazioni sono identiche se il tensore di Ricci è nullo.

[17]

A^j_:n:j − A^j_:j:n = A^h·R_h^,j_,n,j = −A^h·R_h,n
Anche se ovvio, sottolineo il fatto che gli indici tensoriali possono essere alzati ed abbassati senza invalidare la formula per cui ci si può sbizzarrire a scrivere la precedente formula in parecchi modi, come ad esempio:

[17a]

A_j:n^:j − A_j^:j_:n = −A^h·R_h,n

Formule utili

La derivata tensoriale di un vettore covariante:

[18]

A_{i :k} = A_{i /k} − Γ^h_,i,k·A_h
La derivata tensoriale di un vettore controvariante:

[19]

Aⁱ_:k = Aⁱ_/k + Γⁱ_,h,k·A^h
La derivata seconda di uno scalare U ( è evidentemente commutativa) :

[20]

U_:i:k = U_/i/k − Γ^h_,i,k·U_/h
La derivata seconda di un vettore A_a è una complicata miscela di derivate seconde ordinarie, di derivate prime ordinarie e di componenti del vettore doppiamente derivato:

[21]

A_{a :i:k} = A_{a /i/k} − Γ^h_,a,i·A_h/k − Γ^h_,a,k·A_h/i − Γ^h_,i,k·A_a/h + ( Γ^s_,a,k·Γ^h_,s,i + Γ^s_,i,k·Γ^h_,s,a − Γ^h_,a,i/k )·A_h
L'ultimo termine di questa formula, ossia Γ^h_,a,i/k , è la derivata ordinaria di un simbolo di Christoffel di seconda specie e questo evidenzia il fatto che la formula [5] è praticamente indispensabile quando bisogna effettuare la derivata seconda covariante delle componenti di un tensore.
Si noti, inoltre, che questa formula è molto importante, sempre sul piano pratico, perché gli indici delle derivate covarianti possono essere alzati come normali indici covarianti e dunque da questa formula si possono dedurre le sette varianti A^a_:i:k , A_a^:i_:k , A_a:i^:k , A^a:i_:k , A^a_:i^:k , A_a^:i:k , A^a:i:k .
Una avvertenza importantissima mai abbastanza ribadita è questa: la derivata covariante commuta col tensore metrico perché è stata definita proprio per possedere questa proprietà ma la derivata ordinaria NON commuta col tensore metrico per cui, nelle formule in cui compare un elevamento o un abbassamento di indici è tassativo rispettare l'ordine delle operazioni. In altre parole g^h,k·A_h/i non è uguale a A^k_/i mentre ovviamente g^h,k·A_h:i = A^k_:i. A maggior ragione il rischio di sbagliare si presenta quando si elevano indici in formule complicate come questa della derivata seconda covariante di un vettore in cui compaiono parecchie operazioni di derivazione ordinaria che vanno effettuate scrupolosamente prima di applicare il tensore metrico controvariante.

La divergenza di un vettore A_i ( essendo |g| il valore assoluto del determinante del tensore metrico covariante ) :

[22]

Aⁱ_:i = |g|^−½ ·( Aⁱ·|g|^½ )_/i
La divergenza di un tensore doppio simmetrico S ^i,k = S ^k,i :

[23]

S ^i,k_:k = |g|^−½ ·( S ^i,k·|g|^½ )_/k − S ^k,h·g_k,h/i /2
La divergenza di un tensore doppio antisimmetrico E ^i,k = − E ^k,i :

[24]

E ^i,k_:k = |g|^−½ ·( E ^i,k·|g|^½ )_/k
La prima delle due divergenze possibili di un tensore doppio generico T ^i,k :

[25]

T ^i,k_:i = |g|^−½ ·( T ^i,k·|g|^½ )_/i + Γ^k_,i,h·T ^i,h
La divergenza del gradiente di uno scalare U.

[26]

U ^:i_:i = |g|^−½ ·( |g|^½ · g ^i,k· U_/k )_/i

Metrica diagonale

Nel caso di metrica diagonale uso sempre solo il tensore metrico covariante e lo indico come se fosse una funzione dipendente da un solo indice ( ossia g_h,h = g(h) ) per evitare che possa scattare la regola della sommatoria sottintesa quando due indici sono rappresentati con lo stesso simbolo ma uno dei due è controvariante e l'altro covariante. Per indicare una sommatoria devo allora indicarla esplicitamente col simbolo ∑. Per esempio :

[27]

ds² = ∑_h g(h)·dx^h·dx^h
Quando ho bisogno del tensore metrico controvariante uso l'inversa della corrispondente funzione covariante ossia g^h,h = 1 / g(h).
I simboli di Christoffel di seconda specie assumono allora espressioni abbastanza semplici ossia diventano:

[28]

Γ^h_,m,k = ( ( δ_m,h + δ_m,k )·δ_m,h·g(h)_/k − δ_m,k·g(k)_/h ) / ( 2· g(h) )
Dove δ_h,k = 0 se h ≠ k mentre δ_h,h = 1 ossia si tratta del simbolo di Kronecker.
L'espressione del simbolo di Christoffel può essere sdoppiata nelle tre formule:

[29]

Γ^h_,m,k = 0 ;   ( se m ≠ h e se m ≠ k e se h ≠ k )
Γ^h_,m,m = − g(m)_/h / (2· g(h)) ;   ( m ≠ h )
Γ^m_,m,k = Γ^m_,k,m = g(m)_/k / (2· g(m))

Da queste espressioni si deducono quelle delle derivate dei simboli di Christoffel di seconda specie ossia:

[30]

Γ^h_,m,k/n = 0 ;   ( se m ≠ h e se m ≠ k e se h ≠ k )
Γ^h_,m,m/n = − g(m)_/h/n/(2· g(h)) + g(m)_/h · g(h)_/n/(2· g(h)²) ;   ( m ≠ h )
Γ^m_,m,k/n = Γ^m_,k,m/n = g(m)_/k/n/(2· g(m)) − g(m)_/k · g(m)_/n/(2· g(m)²)

Bibliografia

Bibliografia

Nella mia biblioteca personale:

• P.A.M. Dirac : General Theory of Relativity - ISBN 9780691011462
• M.P.Hobson, G.Efstathiou and A.N. Lasenby : General Relativity. An Introduction for Physicists - ISBN 9780521829519
• N.M.J. Woodhouse : General Relativity - ISBN 9781846284861
• Robert M. Wald : General Relativity - ISBN 9780226870335
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne and John A. Wheeler : Gravitation - ISBN 978716703440
• Lev D. Landau, Evgenij M. Lifšits ( traduzione di Aleksandr Machov ) : Teoria dei Campi - ISBN 9788835955993
• Barry Spain (traduzione Alvaro Palamidessi) : Calcolo Tensoriale ( Tensor Calculus ) http://www.elegio.it/doc/spain/ Cremonese ed. (1972)
• Bruno Finzi, Maria Pastori : Calcolo Tensoriale e Applicazioni - Seconda Edizione, Zanichelli http://www.elegio.it/doc/mc2/
• Vincenzo Barone :Relatività - Princìpi e Applicazioni - Bollati Boringhieri ( novembre 2004 ) ISBN 9788833957579
• Maurizio Dapor :Teoria della relatività - Zanichelli ( ottobre 2008 ) ISBN 9788808067739

Non in mio possesso ma di buona fama:

• Ray d'Inverno : An Introduction to Einstein's Relativity - Oxford University Press, (1992) ISBN 9780198596868
• W. Rindler: Relativity: Special, General and Cosmological, Oxford University Press (2001) ISBN 9780198508366

Il mare magnum delle teorie sulla gravitazione

Un argomento da approfondire ma interessante dato che.... anche io ho la mia che forse tirerò fuori se e quando i tempi saranno maturi ( e se non scoprirò che ho fatto una re_invenzione o ... una cavolata )

• http://en.wikipedia.org/wiki/Category:Theories_of_gravitation
• http://en.wikipedia.org/wiki/Brans-Dicke_theory ( Ne parla anche l'Hobson a pag. 191 - Appendix 8A )