Convenzioni tensoriali (200902)

0 : indice covariante ( ossia scritto in basso, un pedice )
1 : indice controvariante ( ossia scritto in alto, un apice )
2 : derivata ordinaria ( totale o parziale) pseudo_covariante: (d/ds) o (∂/∂t)
3 : derivata ordinaria pseudo_controvariante ( ottenuta tramite il tensore metrico )
4 : derivata covariante tensoriale ( usando i simboli di Christoffel )
5 : derivata tensoriale controvariante ( ottenuta tramite il tensore metrico )

Dunque i nomi di indici preceduti da 0,2,4 ossia le cifre pari, specificano indici che stanno in basso ( pedici ) mentre i nomi di indici preceduti da 1,3,5 ossia le cifre dispari, specificano indici che stanno in alto ( apici ).
Dato che le cifre rappresentano iniziali di nomi di indici, i nomi possono essere multicarattere ma solo alfabetici ossia composti da soli caratteri alfabetici a parte la cifra iniziale del nome dell'indice.
Salvo diverso avviso, t usato da indice indica 0 o 4, x indica 1, y indica 2 e z indica 3. Gli indici inizianti con una maiuscola indicano valori numerici (specificati a parte) e, in caso di derivate (cifre 2..5), indicano derivata totale rispetto alla variabile che possiede quel nome ( eventualmente senza distinzione tra maiuscole e minuscole ).

Qualche esempio

g0i0k , g1i1k == g_ik , g^ik ;( rappresenta il tensore metrico in forma covariante, indici in basso o controvariante, indici in alto )

Ch1i0j0k == Γ ⁱ_jk ;( il simbolo di Christoffel di seconda specie ; Ch0i0j0k == Γ _ijk quello di prima specie )

A0i4k = A0i2k - Ch1m0i0k*A0m == ∇_k·A_i = ∂_k·A_i − Γ ^m_ik·A_m ;( la derivata covariante di un vettore covariante )

A1i4k = A1i2k + Ch1i0m0k*A1m == ∇_k·Aⁱ = ∂_k·Aⁱ + Γ ⁱ_mk·A^m ;( la derivata covariante di un vettore controvariante )

A1i2S = A1i2m*x1m2S == ∂_S·Aⁱ = ∂_m·Aⁱ ·∂_S·x^m ;( derivata totale ordinaria di un vettore controvariante Aⁱ assumendo che le coordinate xⁱ siano funzioni del parametro indipendente S; solitamente si pone   u1i = x1i2S   ossia   uⁱ = ∂_S·xⁱ )

A1i4S = A1i2S + Ch1i0m0h*A1m*x1h2S == ∇_S·Aⁱ = ∂_S·Aⁱ + Γ ⁱ_mh·A^m ·∂_S·x^h ;( derivata totale covariante di un vettore controvariante Aⁱ rispetto al parametro S; solitamente come Aⁱ si prende uⁱ per avere l'accelerazione tensoriale essendo uⁱ = ∂_S·xⁱ ossia la velocità; u1i2S = ∂_S·uⁱ   è l'accelerazione ordinaria, non tensoriale ossia ottenuta senza simboli di Christoffel )

A1i3k = g1h1k*A1i2h == ∂^k ·Aⁱ = g^hk · ∂_h ·Aⁱ ;     A1i5k = g1h1k*A1i4h == ∇^k ·Aⁱ = g^hk · ∇_h ·Aⁱ

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Versione 20090223 : In rete