In rete: http://www.elegio.it/mc2/doc/arco-tangente.html

Arco tangente

Il calcolo dell'arco tangente può essere effettuato utilizzando il seguente sviluppo in serie:
φ = atan( y ) = ∑m = 0,..,∞ y·( − y² )^m2·m + 1     ;   |y| ≤ 1
ovvero:
φ = atan( y ) = y − y³3  + y⁵5  − y⁷7  + y⁹9  − y¹¹11  + ...     ;   |y| ≤ 1
Per calcolare l'arco_tangente quando y è in modulo superiore ad uno si può usare la seguente formula:
φ = atan( y ) = π·y2·|y| − 1y + 1 3·y³  − 1 5·y⁵  + 1 7·y⁷  − 1 9·y⁹  + ...     ;   |y| ≥ 1
Resta comunque il fatto che quando   |y| = 1   la convergenza della sommatoria è lentissima.
Se però si pone:
z = y 1 + ( 1 + y² )^1/2
si ha la garanzia che sempre, qualunque valore abbia y, risulti   |z| < 1   e pertanto il valore di φ si calcola nel seguente modo:
φ2 = atan( z ) = z − z³3  + z⁵5  − z⁷7  + z⁹9  − z¹¹11  + ...     ;   |z| ≤ 1
Il procedimento può essere ripetuto indefinitamente calcolando la tangente dell'angolo dimezzato dell'angolo dimezzato ovvero:
q = z 1 + ( 1 + z² )^1/2
e quindi:
φ4 = atan( q ) = q − q³3  + q⁵5  − q⁷7  + q⁹9  − q¹¹11  + ...     ;   |q| ≤ 1
e così via col vantaggio di usare, nella sommatoria, le potenze di un numero sempre più prossimo, in valore assoluto, allo zero e dunque ottenere una convergenza sempre più veloce della sommatoria stessa.

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Verifica della formula

Uso la seguente function:

function atanmia(){
    var ob,j,x,y,z,potdue,fi;
    ob=document.getElementById("tangente");
    x=eval(ob.value);
    with(Math){
        potdue=1;
        y=x;
        for(j=0;6>j;j++){
            z=y/(1 + sqrt( 1 + y*y));
            potdue+=potdue;
            y=z;
            }
        }
    z=y*y;
    fi=potdue*y*(1+z*(-1/3+z*(1/5-z/7)));
    alert("Valore vero       : "+Math.atan(x)+
        "\nValore calcolato: "+fi);
    }