In rete: http://www.elegio.it/mc2/doc/metrica-reissner-nordstrom.html

Metrica di Reissner e Nordström

Viene descritta in http://en.wikipedia.org/wiki/Reissner%E2%80%93Nordstr%C3%B6m_metric .
Scoperta dal tedesco Hans Reissner ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hans_Reissner 1874-1967 ) e dal finlandese Gunnar Nordström ( http://en.wikipedia.org/wiki/Gunnar_Nordstr%C3%B6m 1881-1923 ) è la metrica di un buco nero non rotante ma dotato di carica. Tale metrica include quella molto più nota del tedesco Karl Schwarzschild ( http://en.wikipedia.org/wiki/Karl_Schwarzschild 1873-1916 ) ossia il buco nero neutro e non ruotante.
La metrica in coordinate sferiche ( indicando con c la velocità della luce ossia 2.99792458e8 [m/s] e con a e b due costanti dipendenti rispettivamente dalla carica e dalla massa del buco nero ) è esprimibile nel seguente modo:

ds2 = (a/r2 + b/r + 1)·c2·dt2 − (a/r2 + b/r + 1)−1·dr2 − r2·dθ2 − (r·sin( θ ))2·dφ2

dove:

a = G·Q2 4·π·ε0·c4

essendo   Q  la carica del buco nero misurata, nel S.I. in Coulomb,   G   la costante di gravitazione universale ovvero 6.67428e-11 [m3/(kg·s2)] e   M   la massa del buco nero misurata in kg.

b = − 2·G·M c2

In relatività generale scrivere le formule presenta sempre il problema che le quantità non scalari hanno due distinte nature ossia sono controvarianti o covarianti. Le coordinate sono in genere quantità controvarianti mentre il tensore metrico viene solitamente espresso in forma covariante. Per distinguere i due tipi di indici, invece di scrivere in basso i covarianti ed in alto i controvarianti, userò la convenzione di sottolineare indici o grandezze covarianti per cui il tensore metrico covariante, indicato con gh,k , nel caso della metrica di Reissner e Nordström è diagonale ossia ha non nulli solo gli elementi gt,t , gr,r , gθ,θ e gφ,φ .
La metrica può dunque scriversi in modo più compatto così:

ds2 = gt,t ·dt2 + gr,r ·dr2 + gθ,θ·dθ2 + gφ,φ·dφ2

dove:

gt,t = ( a/r2 + b/r + 1 )·c2
gr,r = −1 / ( a/r2 + b/r + 1 )
gθ,θ = − r2
gφ,φ = − r2·sin( θ )2

Un aspetto particolarmente importante di questo sistema di coordinate usato per esprimere la metrica del buco nero carico non ruotante è l'esistenza della relazione:

gt,t · gr,r = −c2

Questa relazione implica che il determinante del tensore metrico non dipende né dalla massa né dalla carica del buco nero ossia è lo stesso di quello dello spazio vuoto.

Le coordinate sferiche usate per esprimere la metrica sono quelle normalmente usate nelle formule ma per certi aspetti di semplicità e naturalezza le coordinate cartesiane hanno innegabili pregi. Trovo dunque logico chiedermi in quale modo introdurre delle coordinate che, almeno asintoticamente ovvero a distanza infinita dal buco nero, coincidano con le normali coordinate cartesiane usate negli spazi pseudo-euclidei ossia in relatività speciale.
Se si rinuncia al requisito dell'ortogonalità delle coordinate simil-cartesiane ovvero se si ammette che la matrice del tensore metrico non sia più diagonale, la procedura è abbastanza semplice.
Introduciamo innanzi tutto la definizione di metrica pseudo_euclidea ponendo:

dσ2 = c2·dt2 − dr2 − r2·dθ2 − (r·sin( θ ))2·dφ2

Passando dalle coordinate sferiche a quelle cartesiane la metrica pseudo-euclidea diventa:

dσ2 = c2·dt2 − dx2 − dy2 − dz2

come è universalmente noto.
Facendo uso della metrica pseudo-euclidea, la metrica del buco nero carico non ruotante può essere espressa in forma concisa nel seguente modo:

ds2 = dσ2 + (a/r2 + b/r)·c2·dt2 + dr2·( a + b·r )/( a + b·r + r2 )

Per cui basta conoscere come esprimere r e dr in funzione delle coordinate cartesiane. Ossia:

r = ( x2 + y2 + z2 )1/2
dr = x·dx/r + y·dy/r + z·dz/r

Esprimiamo in forma di tabella il tensore metrico covariante in coordinate cartesiane NON ortogonali avendo posto per comodità:

R = ( a + b·r )/( a·r2 + b·r3 + r4 )
P = −( a + b·r )/r4
si ha:
gh,k=
┌
│
│
│
│
└		 (a/r2 + b/r + 1)·c2 0 0 0 ┐
│
│
│
│
┘
0 (R·x2 −1) R·x·y R·x·z
0 R·y·x (R·y2 − 1) R·y·z
0 R·z·x R·z·y (R·z2 − 1)

Mentre il tensore metrico controvariante vale:

gh,k=
┌
│
│
│
│
└		 (a/r2 + b/r + 1)−1·c−2 0 0 0 ┐
│
│
│
│
┘
0 (P·x2 −1) P·x·y P·x·z
0 P·y·x (P·y2 − 1) P·y·z
0 P·z·x P·z·y (P·z2 − 1)

Test di ortogonalità

Verifico che con queste formule il tensore metrico covariante è l'inverso del tensore metrico controvariante:
= x
= y
= z
= a
= b
= c

gh,k

...

gh,k

...

gh,k = δh,k

...

Come si fa in Javascript

Riporto la function che calcola il tensore metrico covariante indicato con g_ e quello controvariante ossia il suo inverso, indicato con g. 
function fatenso(g_,g,x,y,z,a,b,c){
    var rr,rq,rb,pb;
    rq=x*x+y*y+z*z;
    rr=Math.sqrt(rq);
    rb=(a+b*rr)/(a*rq+b*rr*rq+rq*rq);
    pb=-(a+b*rr)/(rq*rq);
    g_[0][0]=c*c*(a/rq+b/rr+1);
    g_[1][1]=rb*x*x-1;
    g_[1][2]=rb*x*y;
    g_[2][1]=g_[1][2];
    g_[3][1]=rb*x*z;
    g_[1][3]=g_[3][1];
    g_[2][2]=rb*y*y-1;
    g_[2][3]=rb*y*z;
    g_[3][2]=g_[2][3];
    g_[3][3]=rb*z*z-1;
    g[0][0]=1/(c*c*(a/rq+b/rr+1));
    g[1][1]=pb*x*x-1;
    g[1][2]=pb*x*y;
    g[2][1]=g[1][2];
    g[3][1]=pb*x*z;
    g[1][3]=g[3][1];
    g[2][2]=pb*y*y-1;
    g[2][3]=pb*y*z;
    g[3][2]=g[2][3];
    g[3][3]=pb*z*z-1;
    return rr;
    }