Simbologia
- g_h!k! == tensore metrico covariante ( che va scritto
g#_h#!k#! anteponendo ai caratteri di controllo
il carattere # ).
- g_H!K! == tensore metrico controvariante ( che va scritto
g#_H#!K#! ).
- #C_m!j!k! == simbolo di Christoffel di prima specie ( che va scritto
#C#_m#!j#!k#! ).
- #C_M!j!k! == simbolo di Christoffel di seconda specie ( che va scritto
#C#_M#!j#!k#! ).
- R_a!b!c!d! == tensore di Riemann.
- R_a!b! == tensore di Ricci.
- Ua_, Ub_, Uc_ == funzioni generiche, scalari.
- V_a!, W_a!, A_a!, B_a! == vettori generici covarianti.
- V_A!, W_A!, A_A!, B_A! == vettori generici controvarianti.
- S_a!b!, Sa_a!b! == tensori generici del secondo ordine simmetrici covarianti.
- E_a!b!, Ea_a!b! == tensori generici del secondo ordine emisimmetici covarianti.
- T_a!b!, Ta_a!b! == tensori generici del secondo ordine covarianti.
- Ua_#T° == derivata totale della funzione U_a rispetto a T_ (uso le maiuscole monocarattere
per indicare derivazione totale seguite dal carattere ° oppure \ ).
- Va_#S\ == derivata totale del vettore Va_ rispetto allo scalare S_. ( notare: il corsivo si ottiene postponendo
al testo il carattere _ e la maiuscola è preceduta dalla barra
e non rappresenta l'indice controvariante ossia è scritta in basso se è seguita dal carattere ° oppure \ )
- x_A! == vettore posizione del punto.
- u_A! == vettore quadrivelocità ossia x_A!#S°.
- w_A! == vettore quadriaccelerazione ossia u_A!#S§ da non confondere con la derivata ordinaria
della quadrivelocità ossia u_A!#S° = u_A!k°*_x_K!#S° = u_A!k°*_u_K!.
La quadrivelocità è, per definizione, un versore di tipo tempo, ossia ha sempre norma unitaria positiva.
[1]
u_A!*_u_a! = u_A!*_g_a!b!*_u_B! = 1
Per dimostrare l'ortogonalità della quadrivelocità rispetto alla quadriaccelerazione
basta applicare la regola della derivazione totale per parti che vale anche per la
derivata covariante. In generale, usando la derivazione covariante e
non quella ordinaria ( notare che uso il carattere § oppure | e la indico con un duepunti ) si ha:
[2]
(A_k!*_B_K!)#S§ = (A_K!*_B_k!)#S§ = A_k!#S§*_B_K! + A_k!*_B_K!#S§ = A_K!#S§*_B_k! + A_K!*_B_k!#S§
Notare che questa formula non vale usando la derivazione ordinaria perché in generale il
tensore metrico non è costante ossia indipendente dalle coordinate e dunque:
[3]
g_i!k!m° ≠ 0
mentre viceversa ( ed è la ragione della definizione di derivazione covariante ) :
[4]
g_i!k!m§ = g_I!K!m§ = 0
Applicando questa regola alla formula precedente si ha che deve essere sempre:
[5]
u_A!*_u_a!#S§ = u_A!*_w_a! = 0
Definizione della derivata covariante di vettori e tensori:
[6]
V_a!b§ = V_a!b° -_ #C_H!a!b!*_V_h!
V_A!b§ = V_A!b° + #C_A!b!h!*_V_H!
Derivata totale di una funzione scalare, funzione delle coordinate. Sia U_ = U_(x_H!) una
generica funzione scalare e si supponga che le coordinate dipendano da un parametro
scalare S_ ossia x_H! = x_H!(S_). Allora:
[7]
U_(x_H!(S_))#S° = U_(x_H!(S_))k°*_x_K!#S° = U_(x_H!(S_))k°*_u_K!
Questa è la formula classica del calcolo differenziale. In questo caso la
derivata ordinaria e quella covariante coincidono per cui, sottintendendo la
dipendenza da S_, si ha:
[8]
U_(x_H!)#S§ = U_(x_H!)k§*_x_K!#S° = U_(x_H!)k§*_u_K!
In conclusione la derivata ordinaria totale e la derivata covariante totale
di una funzione scalare coincidono ossia U_#S§ = U_#S°.
Quando però si deve fare
la derivata totale di un vettore ci sono importanti differenze tra derivata
totale ordinaria e derivata totale covariante. Formalmente infatti si ha
una espressione molto simile ossia:
[9]
V_(x_H!)A!#S§ = V_(x_H!(S_))A!k§*_x_K!#S° = V_(x_H!(S_))A!k§*_u_K!
Ma V_A!k§ contiene i simboli di Christoffel di seconda specie ossia
vale V_A!k° + #C_A!k!h!*_V_H! e pertanto si ha:
[10]
V_A!#S§ = V_A!k°*_u_K! + #C_A!k!h!*_V_H!*_u_K!
Questa formula è di diretto utilizzo quando bisogna esprimere, mediante
derivate ordinarie, la
derivata della quadrivelocità ossia la quadriaccelerazione. In tal caso
V_A! coincide con u_A! per cui si ha questa che è una delle più
importanti formule del calcolo tensoriale dato che viene
usata per esprimere la generalizzazione della classica legge di Newton
quando si lavora con coordinate curvilinee ( o in Relatività Generale) :
[11]
u_A!#S§ = u_A!k°*_u_K! + #C_A!k!h!*_u_H!*_u_K! = u_A!#S° + #C_A!k!h!*_u_H!*_u_K!
