#$_
#@_
#A_
#$_
Simbologia
- g_h!k! == tensore metrico covariante ( che per fare vedere come è
va scritto
g#_h#!k#! si fa anteponendo ai caratteri di controllo ,
in questo caso !, il carattere # ).
- g_H!K! == tensore metrico controvariante ( che va scritto
g#_H#!K#! ossia usando le
maiuscole per scrivere gli indici blu, maschili ).
- #C_m!i!k! == simbolo di Christoffel di prima specie ( che va scritto
#C#_m#!j#!k#! ) simmetrico
nel secondo e terzo indice == ( g_m!k!i\ + g_i!m!k\ -_ g_i!k!m\)/2 .
- #C_M!i!k! == simbolo di Christoffel di seconda specie ( che va scritto
#C#_M#!i#!k#! ) simmetrico
nel secondo e terzo indice == g_M!H!*_( g_h!k!i\ + g_i!h!k\ -_ g_i!k!h\)/2 .
- R_i!k!h!m! == tensore di Riemann in forma totalmente femminile ==
( g_i!m!k\h\ + g_k!h!i\m\ -_ g_i!h!k\m\ -_ g_k!m!i\h\ )/2 + g_n!p!*_( #C_N!k!h!*_#C_P!i!m! -_ #C_N!k!m!*_#C_P!i!h! );
{ vedere la formula (92,1) del L.D.Landau-E.M.Lifšits
Teoria dei campi pag. 343, I edizione: gennaio 1976 - Editori Riuniti }
- R_I!k!h!m! == tensore di Riemann col primo indice maschile ==
#C_I!k!m!h\ -_ #C_I!k!h!m\ + #C_I!n!h!*_#C_N!k!m! -_ #C_I!n!m!*_#C_N!k!h! ;
{ vedere la formula (91,4) del L.D.Landau-E.M.Lifšits
Teoria dei campi pag. 341, I edizione: gennaio 1976 - Editori Riuniti }
- Indico con il simbolo #@_
la radice quadrata del valore assoluto del determinante del tensore metrico
covariante g_h!k! per cui il suo valore lo indico con -_#@_2^ e quello del determinante del tensore
metrico controvariante è ovviamente l'inverso ossia: -_#@_-2^. Notare che il segno meno ( ottenuto
con la coppia di caratteri
-#_ )
dipende dal fatto che in Relatività Generale che include quella Speciale
in cui il tensore metrico non è deformabile dall'energia presente nello spazio,
il determinante del tensore metrico deve essere negativo mentre nel calcolo
tensoriale applicato allo spazio della meccanica classica è positivo per cui
il segno meno va omesso o si scrive genericamente g_
colorandolo di darkmagenta per distinguerlo dal suo inverso ossia G_ = g_-1^
colorato di blu perché maschile ossia
il determinante del tensore metrico controvariante. A pag. 319 del L.D.Landau-E.M.Lifšits
viene riportata questa importante relazione che può servire per controllare
la correttezza dei calcoli : #C_I!k!i! = g_I!M!*_g_i!m!k\ =
G_*_g_k\/2 =
ln(#@_)k\ e la divergenza di un vettore in coordinate curvilinee , formula (86.9) che
assume l'elegante forma V_I!i| = ( #@_*_V_I! )i\/#@_ da cui si capisce
l'importanza, per semplificare i calcoli, di una metrica in cui il determinante del
tensore metrico sia una costante indipendente dalle coordinate, proprietà che
caratterizza il tensore metrico dello spazio pseudoeuclideo ma... non solo, anche in R.G.
se si scelgono bene le coordinate.
- R_a!b! == tensore di Ricci ossia deducendolo dal tensore di Riemann == R_H!a!h!b!.
- Ua_, Ub_, Uc_ == funzioni generiche, scalari.
- V_a!, W_a!, A_a!, B_a! == vettori generici covarianti ( rosa, femminili).
- V_A!, W_A!, A_A!, B_A! == vettori generici controvarianti (blu, maschili).
- S_a!b!, Sa_a!b! == tensori generici del secondo ordine simmetrici covarianti ( rosa, femminili).
- E_a!b!, Ea_a!b! == tensori generici del secondo ordine emisimmetici covarianti ( rosa, femminili).
- T_a!b!, Ta_a!b! == tensori generici del secondo ordine covarianti ( rosa, femminili).
- Ua_#T° == derivata totale della funzione U_a rispetto a T_ (uso le maiuscole monocarattere
per indicare derivazione totale seguite dal carattere ° oppure \ ).
- Va_#S\ == derivata totale del vettore Va_ rispetto allo scalare S_. ( notare:
il corsivo si ottiene postponendo al testo il carattere _ e la maiuscola è preceduta dalla barra
e non rappresenta l'indice controvariante ossia è scritta in basso se è
seguita dal carattere ° oppure \ )
- x_A! == vettore posizione del punto ( blu, maschile ).
- u_A! == vettore quadrivelocità ossia x_A!#S° ( blu, maschile ).
- w_A! == vettore quadriaccelerazione ( blu, maschile ) ossia u_A!#S§ da non confondere con la derivata ordinaria
della quadrivelocità ossia u_A!#S° = u_A!k°*_x_K!#S° = u_A!k°*_u_K!.
La quadrivelocità è, per definizione, un versore di tipo tempo, ossia ha sempre norma unitaria positiva.
[1]
u_A!*_u_a! = u_A!*_g_a!b!*_u_B! = 1
Per dimostrare l'ortogonalità della quadrivelocità rispetto alla quadriaccelerazione
basta applicare la regola della derivazione totale per parti che vale anche per la
derivata covariante. In generale, usando la derivazione covariante ossia tensoriale e
non quella ordinaria ( notare che uso il carattere § oppure | e la indico con un duepunti ) si ha:
[2]
(A_k!*_B_K!)#S§ = (A_K!*_B_k!)#S§ = A_k!#S§*_B_K! + A_k!*_B_K!#S§ = A_K!#S§*_B_k! + A_K!*_B_k!#S§
Notare che questa formula non vale usando la derivazione ordinaria perché in generale il
tensore metrico non è costante ossia indipendente dalle coordinate e dunque:
[3]
g_i!k!m° ≠ 0
mentre viceversa ( ed è la ragione della definizione di derivazione covariante ) :
[4]
g_i!k!m§ = g_I!K!m§ = 0
Applicando questa regola alla formula precedente si ha che deve essere sempre:
[5]
u_A!*_u_a!#S§ = u_A!*_w_a! = 0
Definizione della derivata covariante di vettori e tensori:
[6]
V_a!b§ = V_a!b° -_ #C_H!a!b!*_V_h!
V_A!b§ = V_A!b° + #C_A!b!h!*_V_H!
Derivata totale di una funzione scalare, funzione delle coordinate. Sia U_ = U_(x_H!) una
generica funzione scalare e si supponga che le coordinate dipendano da un parametro
scalare S_ ossia x_H! = x_H!(S_). Allora:
[7]
U_(x_H!(S_))#S° = U_(x_H!(S_))k°*_x_K!#S° = U_(x_H!(S_))k°*_u_K!
Questa è la formula classica del calcolo differenziale. In questo caso la
derivata ordinaria e quella covariante coincidono per cui, sottintendendo la
dipendenza da S_, si ha:
[8]
U_(x_H!)#S§ = U_(x_H!)k§*_x_K!#S° = U_(x_H!)k§*_u_K!
In conclusione la derivata ordinaria totale e la derivata covariante totale
di una funzione scalare coincidono ossia U_#S§ = U_#S°.
Quando però si deve fare
la derivata totale di un vettore ci sono importanti differenze tra derivata
totale ordinaria e derivata totale covariante. Formalmente infatti si ha
una espressione molto simile ossia:
[9]
V_(x_H!)A!#S§ = V_(x_H!(S_))A!k§*_x_K!#S° = V_(x_H!(S_))A!k§*_u_K!
Ma V_A!k§ contiene i simboli di Christoffel di seconda specie ossia
vale V_A!k° + #C_A!k!h!*_V_H! e pertanto si ha:
[10]
V_A!#S§ = V_A!k°*_u_K! + #C_A!k!h!*_V_H!*_u_K! ;
Derivata tensoriale di matrice mista, primo indice maschile, secondo femminile:
[11]
A_I!k!h| = A_I!k!h° + #C_I!m!h!*_A_M!k! -_ #C_M!k!h!*_A_I!m!
{ riproduco esattamente la formula (85,13) del L.D.Landau-E.M.Lifšits
Teoria dei campi pag. 315, I edizione: gennaio 1976 - Editori Riuniti }
[12]
A_I!K!h| = A_I!K!h\ + A_M!K!*_#C_I!m!h! + A_I!M!*_#C_K!m!h! ;
T_i!k!h| = T_i!k!h\ -_ T_m!k!*_#C_M!i!h! -_ T_i!m!*_#C_M!k!h! ;
C_I!k!h| = C_I!k!h\ + C_M!k!*_#C_I!m!h! -_ C_I!m!*_#C_M!k!h! ;
{ riproduco QUASI esattamente le formule a pag 156 , cap. 5.8 "Covariant differentation"
del libro A Student's Guide to Vectors and Tensors di Daniel Fleisch,
pubblicato nel 2012 da
Cambridge University Press http://www.cambridge.org ISBN 9780521171908. La differenza sta nel
fatto che questa libreria usa il carattere ":" come segnalatore di indice ottenuto
con derivata covariante ossia tensoriale e il carattere "/" come segnalatore
di derivata parziale preliminare ossia tradizionale. }
Questa formula è di diretto utilizzo quando bisogna esprimere, mediante
derivate ordinarie, la
derivata della quadrivelocità ossia la quadriaccelerazione. In tal caso
V_A! coincide con u_A! per cui si ha questa che è una delle più
importanti formule del calcolo tensoriale dato che viene
usata per esprimere la generalizzazione della classica legge di Newton
quando si lavora con coordinate curvilinee ( o in Relatività Generale) :
[13]
u_A!#S§ = u_A!k°*_u_K! + #C_A!k!h!*_u_H!*_u_K! = u_A!#S° + #C_A!k!h!*_u_H!*_u_K!
