Breviario derivate ellittiche jacobiane
Le funzioni ellittiche jacobiane soddisfano quattro sistemi di equazioni differenziali del primo ordine in ciascuno dei quali sono collegate tra loro tre funzioni copolari. Il primo dei sistemi considerato è il seguente:
`x = y z ; x(0)=0 `y = − x z ; y(0)=1 `z = − m x y ; z(0)=1
dove m rappresenta il parametro e la soluzione è data da:Si noti che due fondamentali proprietà algebriche delle ellittiche jacobiane si deducono direttamente dal sistema differenziale. che le definisce. Infatti:
x = x(t) = sn(t,m)
y = y(t) = cn(t,m)
z = z(t) = dn(t,m)
`x2 = 2 x `x = 2 x y z e pertanto:
`y2 = 2 y `y = −2 x y z
`(x2 + y2 ) = 0
In altre parole, tenuto conto delle condizioni iniziali x(0)=0 e y(0)=1, si trova che la somma dei quadrati deve essere una costante e che questa costante vale 1.
x2 + y2 = 1
Analoghi passaggi portano a dimostrare che:
m x2 + z2 = 1
− m y2 + z2 = 1 − m
A questo punto ottenere le formule per le derivate di ordine superiore rappresenta una operazione facile. Il punto interessante è però che il fatto che la derivata seconda si esprime come un polinomio di terzo grado della funzione stessa, ovvero, in altre parole, il sistema si disaccoppia in tre equazioni differenziali indipendenti.
``x = − ( 1 + m ) x + 2 m x3 ; x(0) = 0; `x(0) = 1; ``y = ( 2 m − 1 ) y − 2 m y3 ; y(0) = 1; `y(0) = 0; ``z = ( 2 − m ) z − 2 z3 ; z(0) = 1; `z(0) = 0;
Queste formule consentono di descrivere il moto di un punto legato all'origine da un potenziale elastico non lineare ovvero una molla elastica. In sostanza il potenziale elastico della molla non lineare, assunta unitaria la massa del punto estremo libero della molla, è il seguente:I tre tipi di potenziale corrispondono a tre diverse situazioni ovvero:
U(x) = − m ( x2 − ( 1 + m )/( 2 m ) )2 / 2 U(y) = m ( y2 − ( 2 m − 1 )/( 2 m ) )2 / 2 U(z) = ( z2 − 1 + m / 2 )2 / 2
- U(x) rappresenta un sistema in cui la particella è soggetta a forze di richiamo più forti delle forze non lineari e repulsive che tenderebbero a spingere la particella verso l'infinito. Deve dunque esistere una velocità di fuga al di sopra della quale la particella riesce a raggiungere la regione dove prevalgono le forze repulsive. Ad ogni modo, in questo caso, con la particella posta nell'origine e con velocità iniziale unitaria il moto è periodico ossia la particella resta confinata nella regione in cui prevalgono le forze lineari attrattive.
- U(y) rappresenta il moto di una particella comunque legata all'origine tramite una forza non lineare. La particella, che inizialmente si trova ad una distanza unitaria, tuttavia possiede un potenziale capace di farle raggiungere l'origine. Il moto si sviluppa dunque in modo simmetrico rispetto all'origine.
- U(z) rappresenta il moto di una particella comunque legata all'origine tramite una forza non lineare. L'energia potenziale posseduta dalla particella non è però tale da farla giungere all'origine superando la forza di repulsione del termine lineare. Pertanto la particella oscilla attorno alla sua posizione di equilibrio ed il moto avviene soltanto nella zona in cui z è positivo.
Si consideri ora il seguente sistema:
`x = y z ; x(0)=0 `y = ( m − 1 ) x z ; y(0)=1 `z = m x y ; z(0)=1
dove m rappresenta il parametro e la soluzione è data da:
x = x(t) = sd(t,m)
y = y(t) = cd(t,m)
z = z(t) = nd(t,m)
Con qualche passaggio algebrico si deducono le relazioni:
z2 − m x2 = 1
y2 + ( 1 − m ) x2 = 1
(1 − m ) z2 + m y2 = 1
Le tre equazioni delle derivate seconde, disaccoppiate l'una dall'altra sono:
``x = ( 2 m − 1 ) x + 2 m ( m − 1 ) x3 ; x(0) = 0; `x(0) = 1; ``y = − ( 1 + m ) y + 2 m y3 ; y(0) = 1; `y(0) = 0; ``z = ( 2 − m ) z + 2 ( m − 1 ) z3 ; z(0) = 1; `z(0) = 0;
Si consideri ora il seguente sistema:
`x = y z ; x(0)=0 `y = x z ; y(0)=1 `z = ( 1 − m ) x y ; z(0)=1
dove m rappresenta il parametro e la soluzione è data da:
x = x(t) = sc(t,m)
y = y(t) = nc(t,m)
z = z(t) = dc(t,m)
Con qualche passaggio algebrico si deducono le relazioni:
y2 − x2 = 1 Le tre equazioni alle derivate seconde sono:
z2 + ( m − 1 ) x2 = 1
z2 + ( m − 1 ) y2 = m
``x = ( 2 − m ) x + 2 ( 1 − m ) x3 ; x(0) = 0; `x(0) = 1; ``y = ( 2 m − 1 ) y + 2 ( 1 − m) y3 ; y(0) = 1; `y(0) = 0; ``z = − ( 1 + m ) z + 2 z3 ; z(0) = 1; `z(0) = 0;
Si consideri ora il seguente sistema:
`x = − y z ; x(0)=∞ `y = − x z ; y(0)=∞ `z = − x y ; z(0)=∞
dove m rappresenta il parametro e la soluzione è data da:
x = x(t) = ns(t,m)
y = y(t) = cs(t,m)
z = z(t) = ds(t,m)
In questo caso le costanti non sono deducibili dalle condizioni al contorno ma restano deducibili le combinazioni che sono costanti. Si ha:
x2 − y2 = 1
x2 − z2 = m
z2 − y2 = 1 − m
Le equazioni alle derivate seconde:
``x = − ( 1 + m ) x + 2 x3 ; x(0) = ∞ `x(0) = −∞ ``y = ( 2 − m ) y + 2 y3 ; y(0) = ∞ `y(0) = −∞ ``z = ( 2 m − 1 ) z + 2 z3 ; z(0) = ∞ `z(0) = −∞
La velocità angolare di rotazione di un corpo rigido è retta da equazioni differenziali analoghe a quelle che legano tra loro le funzioni ellittiche jacobiane.
Detto Ω il vettore rotazione del corpo rigido (di componenti Ωx, Ωy, Ωz ) diretto come l'asse di rotazione del corpo rigido, ed essendo I lo pseudo vettore dei momenti principali di inerzia (con componenti Ix, Iy, Iz ), le equazioni del moto non soggetto a forze esterne è retta da questa terna di equazioni:
Ix `Ωx = ( Iy − Iz ) Ωy Ωz
Iy `Ωy = ( Iz − Ix ) Ωz Ωx
Iz `Ωz = ( Ix − Iy ) Ωx Ωy
Come si vede si tratta proprio di un sistema riconducibile ad uno di quelli delle funzioni ellittiche jacobiane.
Ecco alcune derivate importanti per l'integrazione:
`( m−1/2 ln( dn( t ) − m1/2 cn( t ) ) ) = sn( t ) `( m−1/2 arccos( dn( t ) ) ) = cn( t ) `( arcsin( sn( t ) ) ) = dn( t ) `( ( m ( 1 − m ) )− 1/2 arcsin( − m1/2 cd( t ) ) ) = sd( t ) `( m−1/2 ln( nd( t ) + m1/2 sd( t ) ) ) = cd( t ) `( ( 1 − m )−1/2 arccos( cd( t ) ) ) = nd( t ) `( ( 1 − m )−1/2 ln( dc( t ) + ( 1 − m )1/2 nc( t ) ) ) = sc( t ) `( ( 1 − m )−1/2 ln( dc( t ) + ( 1 − m )1/2 sc( t ) ) ) = nc( t ) `( ln( nc( t ) + sc( t ) ) ) = dc( t ) `( ln( ds( t ) − cs( t ) ) ) = ns( t ) `( ln( ns( t ) − ds( t ) ) ) = cs( t ) `( ln( ns( t ) − cs( t ) ) ) = ds( t )