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Verifica di derivate seconde (1)

Per calcolare la derivata seconda di una generica funzione x(t) rispetto a t si userà la seguente formula, dipendente dall'intervallino h che verrà preso il più piccolo possibile compatibilmente con la necessità di evitare errori numerici del rapporto tra grandezze infinitesime:

``x( t ) = ( − x( t − 2 h ) + 16 x( t − h ) − 30 x( t ) + 16 x( t + h ) − x( t + 2 h ) ) / ( 12 h² )

Nel seguito si indicherà: sn = sn( t , m ), cn = cn( t , m ), dn = dn( t , m) per brevità.
Per maggior sinteticità si indicherà con ":" l'operatore di divisione analogo a "/" ma con priorità inferiore e non superiore all'operatore di somma e sottrazione e naturalmente con priorità molto inferiore all'operazione di moltiplicazione e divisione indicata dal simbolo "/". In altre parole (a + b : c + d ) == ( a + b )/( c + d ). Se si fosse usato la barra ossia la divisione prioritaria, si sarebbe invece avuto un altro risultato, ovvero ( a + b / c + d ) == ( a + ( b / c ) + d ). In sostanza l'operatore ":" consente di ridurre il numero di parentesi da indicare quando un polinomio va diviso per un altro polinomio.
Altra convenzione: uso la superlineatura (un tratto di linea sovrapposto al carattere) per evidenziare il legame tra una serie di caratteri. La scrittura sin(x) è infatti ambigua perchè potrebbe essere intesa come il prodotto delle tre variabili s,i ed n per la variabile x racchiusa in parentesi per misteriose ragioni. Non è invece ambiguo scrivere sin( x )

Verifica: ``φ = − a φ − b φ ³ ;   a , b > 0
φ = ( 2 m a : (1 − 2 m ) b )^1/2 cn( t ( a : 1 − 2 m )^1/2 , m )

Descrive il moto di un punto vincolato all'origine da una molla elastica non lineare. Nell'istante iniziale ( t = 0 ) il punto si trova fermo ad una certa distanza dall'origine indicata con η ossia elongazione massima. La distanza è

η = ( 2 m a : ( 1 − 2 m ) b )^1/2

Pertanto m dipende da η in base alla relazione:

m = ( η² b : 2 a + 2 η² b )
Si noti che a può essere sia positivo che negativo. Nel caso negativo si ha una forza repulsiva che tenderebbe ad impedire che il punto raggiunga l'origime. Tuttavia il moto è tale per cui la forza repulsiva viene superata e la posizione oscilla tra valori positivi e negativi.

: a
: b (deve essere positivo)
: η == elongazione massima.
: h
: t

: m
: φ
: ``φ
: verifica ``φ

Verifica: ``φ = a φ − b φ ³ ;   a , b > 0
φ = ( 2 a : ( 2 − m ) b )^1/2 dn( t ( a : 2 − m )^1/2 , m )

Descrive il moto dell'estremo di un'asta. Nell'istante t = 0 il punto si trova fermo ad una distanza η dall'origine. Il valore di η è legato a quello degli altri parametri dall'equazione: η = ( 2 a : ( 2 − m ) b )^1/2

Pertanto m dipende da η in base alla relazione:

m = ( 2 b η² − 2 a : b η² )

Se dunque η vale (a / b)^1/2 non si hanno oscillazioni e φ diventa una costante.

Tenere presente che:
dn( t, m ) = cn( t, 1/m ) e che m vale 1 per η = ( 2 a / b )^1/2. Per valori di η superiori si verifica il comportamento oscillante bilaterale mentre per valori inferiori si hanno oscillazioni da una sola parte.Notare che nel caso di m = 1 il moto non è periodico ossia il punto cade nell'origine e vi si ferma in equilibrio instabile. Naturalmente è una situazione poco fisica come tutte le situazioni di equilibrio instabile.

: a (deve essere positivo)
: b (deve essere positivo)
: η == elongazione massima.
: h
: t

: m
: φ
: ``φ
: verifica ``φ

In sostanza le due equazioni possono dare gli stessi risultati poichè esistono formule che collegano cn e dn per valori di m superiori ad 1 in termini di funzioni con m inferiore ad 1.

Le formule sono tratte dall'Abramowitz-Stegun, Handbook of Mathematical Functions, capitolo 16 realizzato da L.M. Milne-Thomson.