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Verifica di derivate seconde (1) ed equazione del pendolo

Per calcolare la derivata seconda di una generica funzione x(t) rispetto a t si userà la seguente formula, dipendente dall'intervallino h che verrà preso il più piccolo possibile compatibilmente con la necessità di evitare errori numerici del rapporto tra grandezze infinitesime:

``x( t ) = ( − x( t − 2 h ) + 16 x( t − h ) − 30 x( t ) + 16 x( t + h ) − x( t + 2 h ) ) / ( 12 h² )

Nel seguito si indicherà: s = sn( t , m ), c = cn( t , m ), d = dn( t , m) per brevità.

Verifica: ``s = − ( 1 + m ) s + 2 m s³

: h
: m
: t

: sn(t,m)
: ``sn
: verifica ``sn

Verifica: ``c = ( 2 m − 1 ) c − 2 m c³

: h
: m
: t

: cn(t,m)
: ``cn
: verifica ``cn

Verifica: ``d = ( 2 − m ) d − 2 d³

: h
: m
: t

: dn(t,m)
: ``dn
: verifica ``dn

Verifica:   ``x + m sin( x ) = 0
dove:  x = 2 arcsin( sn( t, m ) )

Questa equazione ha una notevole importanza in fisica perchè rappresenta l'equazione del moto del pendolo semplice (una massa pesante vincolata con un'asta rigida, senza peso, ad un perno fisso) posto nel campo gravitazionale terrestre.

: h
: m
: t

: x(t,m)
: − m sin( x )
: verifica ``x

Note: Nello scrivere una funzione o un simbolo qualsiasi composto da più di un singolo carattere ho usato la convenzione di sottolineare tutti i simboli che seguono il primo. Chiamo questa annotazione "sottolineatura" che in HTML si attua usando la marca <u>. La convenzione è motivata anche dal fatto che è molto veloce usare la marca <u> dato che bastano pochi caratteri per scriverla.
Questa convenzione toglie qualsiasi ambiguità al fatto che due caratteri consecutivi possano essere interpretati come il prodotto di due variabili individuate da un singolo carattere o da una unica variabile rappresentata da due caratteri. La stessa convenzione viene applicata alle funzioni perchè anche in questo caso, si tratta di specificare che una sequenza di caratteri deve essere trattata come un simbolo unico. Se scrivo, infatti, exp(x) potrei anche interpretare la formula come il prodotto di quattro variabili ossia e, x, p, ed x di cui l'ultima, per qualche strana ragione, viene racchiusa in parentesi. Dunque exp(x) coinciderebbe con ex²p. Il pasticcio che qualsiasi persona risolve ma che crea problemi ad una macchina calcolatrice, si supera scrivendo exp(x) dove è chiaro che il tratto di sottolineatura include anche la prima parentesi perchè se non la includesse, potrei interpretare l'espressione come un prodotto tra la variabile exp e la variabile x racchiusa in parentesi.
La sottolineatura toglie ambiguità soprattutto alle funzioni con un nome lungo, per esempio l'arco del seno, che viene indicato con arcsin(t) piuttoste che con un arcsin(t) che spingerebbe a credere erroneamente di stare leggendo il prodotto della variabile arc per la funzione sin(t).

Le formule sono tratte dall'Abramowitz-Stegun, Handbook of Mathematical Functions, capitolo 16 realizzato da L.M. Milne-Thomson.