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Funzioni Ellittiche Jacobiane Le funzioni ellittiche jacobiane (EJ) sono legate agli integrali ellittici. Per la teoria vedasi il cap. 16 (Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions) dell' Handbook of Mathematical Functions di M.Abramowitz and I. Stegun.   Le EJ sono calcolabili, su PC, usando, per esempio, il modulo MSIMSL della libreria IMSL. La libreria IMSL è, per esempio, disponibile nel compilatore Compaq Visual Fortran (ex Digital Visual Fortran, ex Microsoft Fortran Power Station 4)   Considerò solo le tre funzioni base ossia Sn, Cn e Dn tralasciando di fornire formule per le restanti nove ottenibili da rapporti delle tre qui considerate. [ Per la cronaca le altre funzioni sono: Ns ( == 1/Sn ), Cs ( == Cn/Sn ), Ds ( == Dn/Sn ), Sc ( == Sn/Cn ), Nc ( == 1/Cn ), Dc ( == Dn/Cn ), Sd ( == Sn/Dn ), Cd ( == Sn/Dn ), Nd ( == 1/Dn ), ].   Tali funzioni dipendono da due argomenti il primo del quale verrà detto arco t, definito anche in campo complesso, mentre il secondo sarà detto parametro ellittico Pm, e sarà sempre considerato nel campo reale.   Per comodità, in certe formule si usa il così detto Parametro complementare Pc che è il complemento all'unità del parametro ellittico ( Pc = 1 - Pm).   Il parametro ellittico è definito nell'intervallo base da 0 incluso fino ad 1 escluso, ma esistono formule per calcolare Sn, Cn e Dn anche quando il parametro ellittico ha valore esterno all'intervallo base.   Le funzioni ellittiche sono doppiamente periodiche ossia sono periodiche lungo l'asse reale con il semi periodo Pk e lungo l'asse immaginario, con il semi periodo Pj.   I due periodi sono funzioni del parametro ellittico Pm ossia sono calcolabili con una formula che, espressa in Fortran potrebbe essere espressa in questo modo:   Pk=2*Integrale(Es_inf=0,Es_sup=Pi/2,Var=t,Fun=1/Sqrt(1-Pm*Sin(t)**2) ) Pj=2*Integrale(Es_inf=0,Es_sup=Pi/2,Var=t,Fun=1/Sqrt(1-Pc*Sin(t)**2) ) essendo Pi=3.1415925358979... ed avendo ipotizzato che l'integrale definito sia una funzione con argomenti specificati secondo la sintassi del Fortran 90, dell'estremo superiore, dell'estremo inferiore e della funzione integranda rispetto alla variabile assegnata. Proprietà algebriche fondamentali Le EJ godono delle seguenti proprietà algebriche fondamentali:   Abs(Sn), Abs(Cn), Abs(Dn) <= 1 ; 0<=Pm<1 Sn*Sn + Cn*Cn = 1 Dn*Dn + Pm*Sn*Sn = 1 e pertanto, a parte le considerazioni numeriche sulla precisione, data una sola EJ si possono ottenere tutte le altre 11. Le derivate prime rispetto all'arco T sono:   Der_I(Sn(t,Pm),t) = Cn(t,Pm)*Dn(t,Pm) Der_I(Cn(t,Pm),t) = - Sn(t,Pm)*Dn(t,Pm) Der_I(Dn(t,Pm),t) = - Pm*Sn(t,Pm)*Cn(t,Pm) Valori particolari Le EJ si riducono a funzioni elementari quando il parametro ellittico Pm ha valore 0 o 1. Se infatti il valore di Pm è nullo:   Sn(t, Pm = 0) = Sin(t) Cn(t, Pm = 0) = Cos(t) Dn(t, Pm = 0) = 1 Mentre se m è unitario:   Sn(t, Pm = 1) = Tanh(t) Cn(t, Pm = 1) = 1 / Cosh(t) Dn(t, Pm = 1) = 1 / Cosh(t) Integrali delle EJ Anche gli integrali delle EJ sono dati da espressioni chiuse:   Integrale(Sn, t) = log( Dn - Cn*Sqrt( Pm))/Sqrt( Pm) Integrale(Cn, t) = Arccos( Dn)/Sqrt( Pm) Integrale(Dn, t) = Arcsin( Sn) Formule pseudo-trigonometriche delle EJ Valgono le seguenti formule di addizione degli archi:   Sn(x+y)*(1- Pm*(Sn(x)*Sn(y))**2) = Sn(x)*Cn(y)*Dn(y) + Sn(y)*Cn(x)*Dn(x) Cn(x+y)*(1- Pm*(Sn(x)*Sn(y))**2) = Cn(x)*Cn(y) - Sn(x)*Sn(y)*Dn(x)*Dn(y) Dn(x+y)*(1- Pm*(Sn(x)*Sn(y))**2) = Dn(x)*Dn(y) - Pm*Sn(x)*Sn(y)*Cn(x)*Cn(y)   Le formule per il raddoppio dell'arco sono:   Sn(2*x)*(Cn(x)**2+(Sn(x)*Dn(x))**2) = 2* Sn(x)*Cn(x)*Dn(x) Cn(2*x)*(Cn(x)**2+(Sn(x)*Dn(x))**2) = Cn(x)**2 - (Sn(x)*Dn(x))**2 Dn(2*x)*(Cn(x)**2+(Sn(x)*Dn(x))**2) = Dn(x)**2 + (Dn(x)**2 - 1)*Cn(x)**2 Le formule per il dimezzamento dell'arco sono:   Sn(x/2)**2 = (1 - Cn(x))/(1 + Dn(x)) Cn(x/2)**2 = (Dn(x) + Cn(x))/(1 + Dn(x)) Dn(x/2)**2 = (1 - Pm + Dn(x) + Pm*Cn(x))/(1 + Dn(x)) Relazione tra EJ con parametro ellittico negativo e EJ con parametro ellittico compreso tra 0 ed 1 Se Pm è un numero positivo, eventualmente anche superiore ad 1, si deve innanzi tutto porre:   Pa = Pm/(1+Pm) y=x*Sqrt(1+Pm) Si noti che Pa è sempre compreso tra 0 ed 1. Noto Pa si ottiene:   Sn(x,-Pm) = Sn(y,Pa)/(Sqrt(1+Pm)*Dn(y,Pa)) Cn(x,-Pm) = Cn(y,Pa)/Dn(y,Pa) Dn(x,-Pm) = 1/Dn(y,Pa) Relazione tra Ej con parametro ellittico superiore ad 1 ed EJ con parametro ellittico compreso tra 0 ed 1 Se Pm è un numero positivo ma superiore ad 1 allora, definito Pa in questo modo:   Pa = 1/Pm y = x*Sqrt(Pm) (si noti che Pa è compreso tra 0 ed 1) si ottiene:   Sn(x,Pm) = Sn(y,Pa)/Sqrt(Pm) Cn(x,Pm) = Dn(y, Pa) Dn(x,Pm) = Cn(y,Pa) Derivate seconde Un fatto notevolissimo è che le derivate seconde siano esprimibili in termini delle EJ corrispondenti.   Der_II(Sn(t,Pm),t) = 2*Pm*Sn(t,Pm)**3 - (1 + Pm)*Sn(t,Pm) Der_II(Cn(t,Pm),t) = (2*Pm - 1)*Cn(t,Pm) - 2*Pm*Cn(t,Pm)**3 Der_II(Dn(t,Pm),t) = (2 - Pm)*Dn(t,Pm) - 2*Dn(t,Pm)**3 Le precedenti formule rientrano in quelle più generali della derivata seconda di una potenza di una funzione EJ. È una cosa che merita di essere evidenziata:   Der_II(Sn**k,t) = k*(k-1)*Sn**(k-2) - k*k*(1+Pm)*Sn**k + k*(k+1)*Pm*Sn**(k+2) Der_II(Cn**k,t) = k*(k-1)*(1-Pm)*Cn**(k-2) + k*k*(2*Pm-1)*Cn**k - k*(k+1)*Pm*Cn**(k+2) Der_II(Dn**k,t) = k*(k-1)*(Pm-1)*Dn**(k-2) + k*k*(2-Pm)*Dn**k - k*(k+1)*Dn**(k+2) Quindi, nel caso particolare del quadrato di una EJ, si ha:   Der_II(Sn**2,t) = 2 - 4*(1+Pm)*Sn**2 + 6*Pm*Sn**4 Der_II(Cn**2,t) = 2*(1-Pm) + 4*(2*Pm-1)*Cn**2 - 6*Pm*Cn**4 Der_II(Dn**2,t) = 2*(Pm-1) + 4*(2-Pm)*Dn**2 - 6*Dn**4 Si noti che, per le relazioni algebriche che legano i quadrati delle EJ si ha:   Der_II(Cn**2,t) = - Der_II(Sn**2,t) Der_II(Dn**2,t) = - Pm*Der_II(Sn**2,t)