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Equazione di Keplero

Se gr è la costante di gravitazione universale ( gr = 6.67259e-11 [m^3/(kg*s^2)] ), ms è la massa del Sole (circa ms = 1.9889e30 [kg] ) e mp la massa del pianeta o asteroide ( per la Terra circa mp = 5.973e24 [kg] ), le equazioni del moto ellittico sono facilmente esprimibili in funzione di un parametro detto anomalia eccentrica. Solitamente l'anomalia eccentrica viene indicata sui libri con il simbolo E ma qui preferisco indicarla con il simbolo ss per evitare confusione con ec l'eccentricità e con am ossia il semiasse maggiore. Indico con PI la costante 3.14159265358979...

• Pr = 2*PI*am*sqrt(am/(gr*(ms+mp))) rappresenta il periodo di rivoluzione del pianeta.
• t = tp + am*sqrt(am/(gr*(ms+mp)))*( ss-ec*sin(ss) ) rappresenta il tempo a cui si riferiscono le posizioni e le velocità del pianeta. Quando ss = 0 allora t = tp ossia è il momento del perielio.
• x = am*(cos(ss) - ec) rappresenta l'ascissa nel piano su cui il pianeta orbita attorno al Sole.
• y = am*sqrt(1-ec*ec)*sin(ss) rappresenta l'ordinata nel piano su cui il pianeta orbita attorno al Sole.
• vx = - sin(ss)/(sqrt(am/(gr*(ms+mp)))*(1 - ec*cos(ss))) rappresenta la velocità nella direzione delle ascisse.
• vy = sqrt(1-ec*ec)*cos(ss)/(sqrt(am/(gr*(ms+mp)))*(1 - ec*cos(ss))) rappresenta la velocità nella direzione delle ordinate.

L'unica complicazione di questa equazione è il fatto che in genere non è interessante il parametro ss ma interessa sapere dove sta il pianeta ad un dato tempo t per cui, dato t si deve trovare ss risolvendo una equazione trascendente detta equazione di Keplero.
Ma all'epoca del calcolo elettronico e della sconfinata disponibilità di memoria, la scelta più ragionevole mi sembra quella di tabulare la posizione del pianeta lasciando anche t variabile dipendente da ss e poi interpolare i dati, magari usando una interpolazione di grado elevato.
Il tempo viene dato in secondi, le posizioni in metri e le velocità in metri al secondo. La leggibilità dei risultati aumenta se il tempo viene dato in giorni, le posizioni in milioni di km e le velocità in km al secondo. Nelle tabelle seguenti si adottano queste unità di misura.

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Dati sul sistema solare

	[Yg]	[Gm]	-	[giorni]
Sole	1.9889e9	-	-	-
Mercurio	330.1	57.9	0.2056	87.66
Venere	4868	108.2	0.0068	226.45
Terra	5973	149.6	0.0167	365.2422
Luna	73.4	-	-	-
Marte	641.8	227.9	0.0934	686.65
Giove	1899000	778.3	0.0483	4331.77
Saturno	568600	1426.6	0.0560	10760.
Urano	86840	2870.6	0.0461	30830.
Nettuno	102400	4498.4	0.0097	60192.
Plutone	14.71	5906.4	0.2482	90470.

== mp == Massa del pianeta in yottagrammi [Yg] = 1.e21 [kg]. Massa della Terra: 5973 [Yg], del Sole: 1.9889e9 [Yg].
== am == Semiasse maggiore in gigametri [Gm] ossia milioni di km. La distanza della Terra dal Sole è di 149.6 [Gm].
== ec == eccentricità, numero adimensionale positivo, inferiore ad 1.

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Giampaolo Bottoni
Versione 20090228