Keplero semplice

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Equazione di Keplero
Se gr è la costante di gravitazione universale ( gr = 6.67259e-11 [m^3/(kg*s^2)] ), ms è la massa del Sole (circa ms = 1.9889e30 [kg] ) e mp la massa del pianeta o asteroide ( per la Terra circa mp = 5.973e24 [kg] ), le equazioni del moto ellittico sono facilmente esprimibili in funzione di un parametro detto anomalia eccentrica. Solitamente l'anomalia eccentrica viene indicata sui libri con il simbolo E ma qui preferisco indicarla con il simbolo ss per evitare confusione con ec l'eccentricità e con am ossia il semiasse maggiore. Indico con PI la costante 3.14159265358979...

Pr = 2*PI*am*sqrt(am/(gr*(ms+mp))) rappresenta il periodo di rivoluzione del pianeta.
t = tp + am*sqrt(am/(gr*(ms+mp)))*( ss-ec*sin(ss) ) rappresenta il tempo a cui si riferiscono le posizioni e le velocità del pianeta. Quando ss = 0 allora t = tp ossia è il momento del perielio.

x = am*(cos(ss) - ec) rappresenta l'ascissa nel piano su cui il pianeta orbita attorno al Sole.

y = am*sqrt(1-ec*ec)*sin(ss) rappresenta l'ordinata nel piano su cui il pianeta orbita attorno al Sole.

vx = - sin(ss)/(sqrt(am/(gr*(ms+mp)))*(1 - ec*cos(ss))) rappresenta la velocità nella direzione delle ascisse.

vy = sqrt(1-ec*ec)*cos(ss)/(sqrt(am/(gr*(ms+mp)))*(1 - ec*cos(ss))) rappresenta la velocità nella direzione delle ordinate.

L'unica complicazione di questa equazione è il fatto che in genere non è interessante il parametro ss ma interessa sapere dove sta il pianeta ad un dato tempo t per cui, dato t si deve trovare ss risolvendo una equazione trascendente detta equazione di Keplero.
Ma all'epoca del calcolo elettronico e della sconfinata disponibilità di memoria, la scelta più ragionevole mi sembra quella di tabulare la posizione del pianeta lasciando anche t variabile dipendente da ss e poi interpolare i dati, magari usando una interpolazione di grado elevato.
Il tempo viene dato in secondi, le posizioni in metri e le velocità in metri al secondo. La leggibilità dei risultati aumenta se il tempo viene dato in giorni, le posizioni in milioni di km e le velocità in km al secondo. Nelle tabelle seguenti si adottano queste unità di misura.

Dati sul sistema solare

[Yg] [Gm] - [giorni]

Sole 1.9889e9 - - -

Mercurio 330.1 57.9 0.2056 87.66

Venere 4868 108.2 0.0068 226.45

Terra 5973 149.6 0.0167 365.2422

Luna 73.4 - - -

Marte 641.8 227.9 0.0934 686.65

Giove 1899000 778.3 0.0483 4331.77

Saturno 568600 1426.6 0.0560 10760.

Urano 86840 2870.6 0.0461 30830.

Nettuno 102400 4498.4 0.0097 60192.

Plutone 14.71 5906.4 0.2482 90470.

== mp == Massa del pianeta in yottagrammi [Yg] = 1.e21 [kg]. Massa della Terra: 5973 [Yg], del Sole: 1.9889e9 [Yg].
== am == Semiasse maggiore in gigametri [Gm] ossia milioni di km. La distanza della Terra dal Sole è di 149.6 [Gm].
== ec == eccentricità, numero adimensionale positivo, inferiore ad 1.

Periodo = 366.7318804671366

Calcola con questi valori mp = 6e+24 am = 150000000000 ec = 0.01
t = 0 x = 148.5 y = 0 vx = 0 vy = 30.043588793108373
t = 22.69738095713719 x = 137.081929876693 y = 57.399644657264005 vx = -11.488924821321746 vy = 27.735331250141176
t = 45.42876668884264 x = 104.56601717798213 y = 106.06071374453408 vx = -21.182419093076394 vy = 21.181359945642395
t = 68.22298505101065 x = 55.902514854763474 y = 138.5750006069631 vx = -27.586031430945418 vy = 11.425937011046686
t = 91.09929820112683 x = -1.4999999999999911 y = 149.99249981249065 vx = -29.74464017436867 vy = 1.8212428500937832e-15
t = 114.06447010940272 x = -58.90251485476346 y = 138.5750006069631 vx = -27.375701983029472 vy = -11.338820057327853
t = 137.1117368056268 x = -107.56601717798212 y = 106.0607137445341 vx = -20.88495781826897 vy = -20.88391354427055
t = 160.22183613231343 x = -140.08192987669304 y = 57.39964465726402 vx = -11.27858049959835 vy = -27.227540527308893
t = 183.36594023356827 x = -151.5 y = 1.8368783479147664e-14 vx = -3.606601819933699e-15 vy = -29.448666242749795
t = 206.51004433482316 x = -140.08192987669304 y = -57.39964465726399 vx = 11.278580499598341 vy = -27.227540527308896
t = 229.6201436615098 x = -107.56601717798216 y = -106.06071374453408 vx = 20.884957818268965 vy = -20.883913544270555
t = 252.66741035773384 x = -58.90251485476355 y = -138.57500060696307 vx = 27.375701983029465 vy = -11.33882005732787
t = 275.63258226600976 x = -1.5000000000000278 y = -149.99249981249065 vx = 29.74464017436867 vy = -5.46372855028135e-15
t = 298.50889541612594 x = 55.9025148547635 y = -138.5750006069631 vx = 27.586031430945418 vy = 11.425937011046692
t = 321.30311377829395 x = 104.56601717798222 y = -106.06071374453401 vx = 21.18241909307638 vy = 21.18135994564241
t = 344.0344995099995 x = 137.08192987669307 y = -57.39964465726384 vx = 11.488924821321712 vy = 27.73533125014119
t = 366.7318804671367 x = 148.5 y = 2.297026359423632e-13 vx = -4.6011878114114316e-14 vy = 30.043588793108373

Giampaolo Bottoni
Versione 20090228