http://www.elegio.it/mc2/kerr-newman-schild-1.html

Metrica di Kerr Newman Schild (buco nero carico ruotante)

La metrica KNS, a differenza di molte altre normalmente utilizzate in pratica, non è diagonale e dunque merita qualche considerazione algebrica. Bisogna infatti rispondere al più spontaneo quesito di chiunque abbia fatto qualche conto numerico: come fare ad ottenere facilmente il tensore metrico controvariante, noto quello covariante ( o viceversa ), senza doversi impegolare nell'inversione numerica di una matrice simmetrica di ordine quattro ?

Ovviamente, a parole, il calcolo dell'inversa di una matrice non singolare è una operazione semplice, basata sulla regola di Kramer ma... le operazioni da effettuare non sono poche. Se conosciamo a priori, come nel caso della matrice di KMS, che il determinante è una costante indipendente dalle coordinate (anzi addirittura vale sempre 1 ), le cose si semplificano molto perché si tratterà solo di calcolare, con la regola di Kramer, il determinante di 10 matrici di ordine 3 (dieci minori ) il che è una operazione alquanto lunga ma ancora umanamente fattibile a mano.

Supponiamo di avere una matrice quadrata G simmetrica ( ossia tale per cui G^T = G ), di qualsiasi ordine, dotata di inversa tale per cui esista un vettore k per cui valga la relazione:
k^T·G ⁻¹·k = 0
Essendo simmetrica, la matrice G ha tutti autovalori reali. Perché esistano vettori simili a k è necessario che G non sia definita positiva ossia abbia almeno un autovalore reale negativo, come si verifica sempre quando G è la matrice di un qualsiasi tensore metrico relativistico in qualsiasi punto dello spazio quadridimensionale. Allora,posto per brevità:
h = G ⁻¹·k
per cui:
k^T·h = h^T·k = 0
Si possono allora costruire due matrici tali che una sia l'inversa dell'altra, nel seguente modo:
A = G + a·k·k^T
A⁻¹ = G ⁻¹ − a·h·h^T
La verifica che effettivamente una delle matrici è l'inversa dell'altra è immediata ( bastra provare a semplificare il loro prodotto ).

Questa è la tecnica che è stata usata per costruire un tensore metrico covariante della metrica di Kerr-Newman-Schild, un tensore fatto in modo che fosse facile ottenere il suo inverso ossia il tensore metrico controvariante.
Usando la notazione tensoriale possiamo dire che dato un tensore metrico noto in forma sia covariante che controvariante ossia noto g_a,b e g^a,b e preso un vettore luce covariante qualsiasi ovvero ç_a ( essendo il suo omonimo controvariante ç^a = g^a,i·ç_i ) , si può definire una coppia di tensori covarianti tali per cui il loro prodotto dia il tensore metrico in forma mista ( che è nient'altro che la matrice identità ) ossia supponiamo che i due tensori covarianti abbiano la seguente forma:
gp_a,b = g_a,b + a·ç_a·ç_b
gm_a,b = g_a,b − a·ç_a·ç_b
Avendo posto come condizione che:
çⁱ·ç_i = 0
Si ha che ( per verificare basta provare ad esplicitare la relazione):
gp_a,i·gm^i,b = g_a^,b
Questa relazione può servire per perturbare un tensore metrico noto, tramite un arbitrario tensore luce ç_a ed uno scalare a ottenendo un nuovo tensore sia in forma covariante che controvariante.
In generale, dato un qualsiasi vettore covariante v_a e il suo omonimo controvariante v^a = g^a,i·v_i , si possono definire le coppie di tensori:
gp_a,b = g_a,b + a·v_a·v_b
gm_a,b = g_a,b − a·( 1 + a·vⁱ·v_i)⁻¹ ·v_a·v_b
tali per cui:
gp_a,i·gm^i,b = g_a^,b
Questo è sempre possibile purché:
a·vⁱ·v_i ≠ −1
Fatte queste considerazioni diventa agevole trattare le metriche non diagonali caratterizzate da questa struttura algebrica.
Uso il simbolo δ_a^,b definito ponendo δ_a^,a = 1 ed altrimenti nullo.
La metrica KNS, usando la segnatura ( +, −, −, −) si esprime così:
g_a,b = δ_a^,b ·( 2·δ₀^,b − 1 ) − f·k_a·k_b
g^a,b = δ_a^,b ·( 2·δ₀^,b − 1 ) + f·k^a·k^b

dove:
ρ = x² + y² + z² − a²
r = ( ( ρ + ( ρ² + (2·a·z)² )^½ )/2 )^½
f = G·r²·( 2·M·r/c² − Q² )/( r⁴ + (a·z)² )
k₀ = k⁰ = 1
k₁ = − k¹ = ( r·x + a·y )/( r² + a² )
k₂ = − k² = ( r·y − a·x )/( r² + a² )
k₃ = − k³ = z / r
dove G è la costante di gravitazione universale, M è la massa del buco nero, Q è la sua carica ed a è il suo spin ossia il suo momento di rotazione.

La funzione r = r(x, y, z ) è definita in modo che risulti:
x² + y²r² + a² + z²r² = 1
per cui si ha sempre:
k⁰·k₀ + k¹·k₁ + k²·k₂ + k³·k₃ = 0
Se il buco nero non è ruotante le espressioni diventano molto più semplici ( versione Schild del buco nero di Reissner-Nordström ossia RNS ):
r = ( x² + y² + z² )^½
f = G·( 2·M·r/c² − Q² )/r²
k₀ = k⁰ = 1
k₁ = − k¹ = x/r
k₂ = − k² = y/r
k₃ = − k³ = z/r
e naturalmente le cose si semplificano ulteriormente se il buco nero non è carico ( versione Schild del buco nero di Schwarzschild ossia SS )

Verifiche

Qui si verifica se effettivamente il tensore metrico covariante e quello controvariante sono realmente l'uno l'inverso dell'altro.
Per capire a fondo vedere il sorgente HTML...

== G
== a
== Q
== M [kg] ( 2.0e30 è circa la massa del Sole )
Scegliere un punto a piacere in cui verrà calcolato il tensore metrico covariante e quello controvariante: == x == y == z [m] ( la Terra dista dal Sole 150.0e9 metri )

g00 ossia matrice del tensore covariante

...

Matrice:

...

Inversa costruita con la formula:

...

g11 ossia matrice del tensore controvariante

...

Inversa costruita algebricamente

...

Prodotto tra le due matrici

Con l'inversa costruita algebricamente

...

Con l'inversa costruita con la formula

...

Bibliografia

http://it.wikipedia.org/wiki/Buco_nero_di_Kerr-Newman dove c'è una critica a mio parere infondata sul buco nero troppo carico.

http://it.wikipedia.org/wiki/Metrica_di_Kerr-Newman

http://en.wikipedia.org/wiki/Einstein_field_equations

http://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations_in_curved_spacetime