Avvertenze:
Data la difficoltà, in HTML, di rappresentare espressioni nelle normali notazioni matematiche,
adotto qui convenzioni già note nel calcolo tensoriale ma facendo ricorso a simboli
che trovo meno equivocabili. Per indicare la derivata covariante
antepongo all'indice il carattere ":" mentre per indicare la derivata parziale ordinaria
( che non richiede l'uso dei simboli di Christoffel ) antepongo all'indice il carattere "/".
Una scelta più tradizionale sarebbe stata quella di usare il punto e virgola per la
derivata covariante e la virgola per la derivata ordinaria ma dato che uso già
la virgola per separare gli indici... non avrei potuto adottare queste convenzioni
più conosciute ma anche più equivocabili.
Dunque, per esempio, data una funzione scalare U funzione del vettore posizione xa,
il gradiente della funzione scalare va indicato nel seguente modo:
Come esempio di derivata covariante uso quella applicata ad un generico vettore covariante
che indico con Vb. Va ricordato che la derivazione di un vettore, a differenza
di quella di uno scalare come U, in coordinate non cartesiane
necessita dell'uso dei simboli di Christoffel.
|
Vb:a = Vb/a −
Γ m,b,a·Vm
|
=
|
∂V ∂ xa
|
−
Γ m,b,a·Vm
|
Ricordo qui le definizioni di tensore metrico covariante e di simbolo di Christoffel di prima e seconda
specie:
ds2 =
gh,k·dxh·dxk
Γc,b,a = ( −gb,a/c +
gc,a/b + gb,c/a ) / 2
Γc,b,a = gc,k·Γk,b,a
Γc,b,a = gc,k·Γk,b,a
La definizione di simbolo di Christoffel di prima specie, scritta in modo più esplicito
diventa quindi:
|
Γc,b,a =
|
1 2
|
· ( −
|
∂ gb,a ∂ xc
|
+
|
∂ gc,a ∂ xb
|
+
|
∂ gb,c ∂ xa
|
)
|
Equazioni di Maxwell in coordinate curvilinee
Il tensore del campo elettromagnetico Fa,b è un tensore antisimmetrico che
soddisfa le seguenti equazioni differenziali (notare il dettaglio : per evidenziare le operazioni di contrazione
quando saturo indici uso i caratteri i,j,k,m... mentre per gli indici non saturati uso i primi caratteri
dell'alfabeto ossia a,b,c,d... ) :
[1]
Fa,b = − Fb,a
Fa,b:c +
Fb,c:a +
Fc,a:b = 0
F a,i:i = μ0·j a
Si è qui usato il Sistema Internazionale per cui μ0 è detta la permeabilità
magnetica del vuoto e vale esattamente:
μ0 = 4·π/107
≈ 1.256637 ·10−6
Dato che deve valere la relazione:
ε0·μ0·c2 = 1
essendo c = 299792458 = 2·7·73·293339 [m/s] ne consegue che
ε0 ≈ 8.85418781762 ·10−12
Con j a si è indicato il vettore controvariante della quadricorrente.
Il campo elettromagnetico
può essere considerato ottenuto derivando opportunamente un vettore, detto vettore quadripotenziale
Aa, secondo la formula:
[2]
Fa,b = Ab:a − Aa:b
Consideriamo, come esempio, un importante caso particolare ossia il caso di una carica elettrica
stazionaria nel sistema di coordinate sferico caratterizzato dalla seguente
metrica:
g0,0 = c2
g1,1 = −1
g2,2 = −( x1 )2
g3,3 = −( x1·sin( x2 ) )2
ga,b = 0 ; ( se a ≠ b )
Notate che in questa metrica il significato fisico delle coordinate è il seguente:
[ x0, x1,
x2, x3 ] =
[ t, r, θ, φ ]
Una importante quantità è il modulo del determinante del tensore metrico covariante, solitamente
indicato con |g|. Nel caso della geometria sferica nello spazio piatto questa
quantità vale:
|g| = c2·(
x1 )4·sin( x2 )2
Il potenziale elettrostatico creato da una carica nell'origine, nel caso
dello spazio piatto in coordinate sferiche vale:
A0 = Q/(
4·π·ε0·x1 ) ; A1 =
A2 = A3 = 0
dove Q, misurata in Coulomb, rappresenta la carica della particella posta nell'origine.
In versione controvariante il potenziale quadrivettore diventa:
A0 = Q/(
4·π·ε0·c2·x1 ) ;
A1 =
A2 = A3 = 0
Si noti che è corretto scrivere, in alternativa:
|
A0 =
|
Q
4·π·ε0·c2·x1
|
=
|
Q · μ0
4·π·x1
|
|
A0 =
|
Q
4·π·ε0·x1
|
=
|
Q · μ0 ·c2
4·π·x1
|
Noto il potenziale quadrivettore si calcola il tensore covariante
del campo elettromagnetico applicando la [2] e pertanto le uniche due
componenti non nulle ( e di segno opposto ) sono:
|
F1,0 =
|
Q
4·π·ε0·( x1 )2
|
= −F0,1
|
La versione controvariante del tensore elettromagnetico possiede anche lei
due sole componenti non nulle ovvero:
|
F 1,0 = −
|
Q
4·π·ε0·c2·(
x1 )2
|
= −F 0,1
|
L'arbitrarietà della scelta del vettore quadripotenziale viene normalmente limitata
imponendo la così detta condizione di gauge di Lorentz ossia
la seguente condizione di calibrazione:
[3]
Ai:i = 0
Si può semplificare questa equazione utilizzando, in luogo della derivata covariante
( indicata dal simbolo ":" anteposto all'indice ), la derivata ordinaria ( indicata
dal simbolo "/" anteposto all'indice ) utilizzando il modulo del determinante
del tensore metrico covariante ossia |g|. Vedere in
www.elegio.it/mc2/Ricci-Riemann.html l'espressione della divergenza di un vettore.
La condizione di calibrazione applicata a qualunque sistema di coordinate
curvilinee diventa:
[3a]
( |g|½ · Ai) /i = 0
o, se si preferisce:
[3b]
2 ·Ai/i +
(log(|g|))/i·Ai = 0
L'espressione [2] si basa sulla derivata covariante e dunque è manifestamente una equazione
tensoriale, tuttavia è facile vedere che non risulta necessario calcolare i simboli di
Christoffel per cui basta usare la derivata ordinaria. Se infatti scriviamo l'espressione
della derivata covariante di un vettore covariante abbiamo:
[4]
Aa:b = Aa/b −
Γi,a,b·Ai
Ab:a = Ab/a −
Γi,b,a·Ai
ed essendo
Γi,a,b =
Γi,b,a
è facile vedere che le equazioni di Maxwell assumono la seguente forma decisamente più semplice:
[5]
Fa,b = Ab/a − Aa/b
F a,i:i = μ0·j a
Con un ulteriore ritocco è possibile evitare l'uso esplicito dei simboli di Christoffel.
Infatti la divergenza di un tensore doppio antisimmetrico E a,b =
− E b,a
, detto |g| il valore assoluto del determinante del tensore metrico, vale :
[6]
E a,i:i = |g|−½
·( E a,i·|g|½ )/i
Pertanto le equazioni di Maxwell possono essere scritte anche nel seguente modo:
[7]
Fa,b = Ab/a − Aa/b
( |g|½ ·
F a,i )/i
= μ0·|g|½ ·j a
Questa formula ha una notevole rilevanza pratica per chi voglia
usare coordinate curvilinee anche limitandosi a considerare
spazi pseudoeuclidei.
Data la sua importanza cruciale, esprimo qui per esteso, ossia in modo prolisso,
questa equazione tenendo solo conto del fatto che il tensore, essendo antisimmetrico,
ha termini diagonali nulli per definizione:
[7a]
|
∂ |g |½·F0,1 ∂ x1
|
+ |
∂ |g |½·F0,2 ∂ x2
|
+ |
∂ |g |½·F0,3 ∂ x3
|
= μ0·|g|½ ·j 0
|
|
∂ |g |½·F1,0 ∂ x0
|
+ |
∂ |g |½·F1,2 ∂ x2
|
+ |
∂ |g |½·F1,3 ∂ x3
|
= μ0·|g|½ ·j 1
|
|
∂ |g |½·F2,0 ∂ x0
|
+ |
∂ |g |½·F2,1 ∂ x1
|
+ |
∂ |g |½·F2,3 ∂ x3
|
= μ0·|g|½ ·j 2
|
|
∂ |g |½·F3,0 ∂ x0
|
+ |
∂ |g |½·F3,1 ∂ x1
|
+ |
∂ |g |½·F3,2 ∂ x2
|
= μ0·|g|½ ·j 3
|
A questo punto facciamo una importante osservazione. Supponiamo che la radice del
determinante del tensore metrico covariante abbia la seguente espressione:
|g|½ = c·(
x1 )2·| sin( x2 ) |
ovvero, avendo posto: [ x0, x1,
x2, x3 ] = [ t, r, θ, φ ]
|g|½ = c·r2·| sin( θ ) |
Questo fatto si verifica non solo quando si usano le coordinate sferiche
nello spazio piatto ossia in relatività speciale, ma anche quando nell'origine
c'è un buco nero di Schwarzschild ossia uno spazio caratterizzato dalla seguente metrica
diagonale ( vedere l'Hobson, Efstathiou, Lasenby, ISBN 9780521829519 a pag.205 ):
g0,0 = c² − 2·c²·μ
r
g1,1 = r2·μ −
r
g2,2 = − r2
g2,2 = − ( r · sin (θ ) )2
dove si è posto:
μ = G·Mc²
dove M è la massa del buco nero espressa in [kg] mentre G è la costante di
gravitazione universale newtoniana che vale
all'incirca G = 6.67428e-11 [m³/(kg·s²)].
Per avere qualche ordine di grandezza si tenga presente che la massa del Sole
è circa 1.9891e30 [kg] e la Terra ha una massa 332946 volte inferiore
di quella del Sole.
Notiamo allora che la radice del valore assoluto del determinante ossia |g|½;
dipende da r² ma allora se F0,1 è proporzionale ad
1/r² ed è l'unico componente non nullo del tensore elettromagnetico
( oltre che ovviamente F0,1 = − F1,0 )
allora |g|½·F0,1 non dipende da r
e pertanto la [7a] viene soddisfatta ovunque tranne ovviamente che nell'origine
se lì è posta la carica elettrica che genera il campo elettromagnetico.
Questa caratteristica è ulteriormente generalizzabile ed è una proprietà
fondamentale del campo elettromagnetico generato da una carica posta
nel buco nero stesso.
Anche se poco esperti di calcolo
tensoriale bisogna comunque sapere come alzare o abbassare gli indici
ossia come passare da vettori o tensori covarianti ai corrispondenti
vettori controvarianti o viceversa. Nel caso specifico bisogna sapere calcolare:
[8]
Fa,b = ga,i·gb,k·Fi,k
Dove ga,b è il tensore metrico in forma
controvariante ossia la matrice inversa del tensore metrico
ga,b in forma covariante. Calcolare a mano l'inversa
di una matrice di ordine quattro è ancora umanamente fattibile
anche se in questi casi chiunque capisce l'utilità di un calcolatore elettronico
piccolo o grande che sia. Il peso computazionale è sopportabile
manualmente se il tensore metrico è diagonale perché ovviamente l'inversa
di una diagonale si fa invertendo ogni elemento ed il determinante
g è il prodotto degli elementi diagonali del tensore
covariante. Per avere un tensore metrico diagonale occorre
avere un sistema di coordinate ortogonali e questo
limita molto la scelta del sistema di coordinate utilizzabile.
Ma disponendo di adeguata potenza di calcolo perché limitarsi
ai soli sistemi di coordinate ortogonali ? Le formule sono
note e... almeno formalmente, semplici.
Un tensore di rilevante interesse pratico, ottenibile quando
è noto il tensore elettromagnatico o il quadripotenziale
elettromagnetico, è il tensore energia-impulso
( Electromagnetic stress-energy tensor citato, in unità SI,
dall' Hobson++ , a pag. 297, formula 12.31 ). Vale:
[9]
Ta,b = − ( gi,k·Fa,i·Fb,k
−
ga,b·F i,k·Fi,k /4 )/μ0
Una proprietà importante di questo tensore simmetrico è di avere traccia nulla. Espresso in forma mista
innalzando il secondo indice, si ha:
[9a]
Ta,b = − ( Fa,i·Fb,i
− δa,b ·Fi,k·Fi,k /4
)/μ0
Da questa espressione si deduce immediatamente che:
[9b]
T = Ti,i = 0
L'equazione del campo gravitazionale nella teoria di Einstein, in forma generale può
essere scritta nel seguente modo:
[10]
Ra,b = ( 8·π·G/c4 )·
( T·ga,b/2 − Ta,b )
dove Ra,b è il tensore di Ricci.
Posto per comodità ( essendo G = 6.67428e-11 [m^3/(kg*s^2)]
la costante di gravitazione universale e c = 2.99792458e8 [m/s] la
velocità della luce ):
[10a]
κ = 8·π·G/c4 = 2.07664e-43 [s^2/(kg*m)]
( notare che κ ha le dimensioni dell'inverso
di una forza, una forza veramente... cosmica )
si vede che, in presenza del solo campo elettromagnetico, l'equazione di
Einstein diventa:
[10b]
Ra,b = − κ·Ta,b
Il fatto che il tensore di Ricci sia così poco influenzato dal tensore energia impulso... non
vuol dire che questa dipendenza non esista ! Ovviamente diventa fisicamente
sperimentabile a livello astrofisico ma ... esiste ovunque c'è non solo materia
( forma molto concentrata di energia ) ma anche energia, la pur piccola
energia di un singolo fotone ( occorre ragiornale alla scala della
lunghezza di Planck
ossia 1.6e-35 [m] ) ...
Potenziale di Maxwell in coordinate curvilinee ( e/o spazi relativistici )
In assenza di cariche elettriche la divergenza del campo elettromagnetico è nulla ossia:
[11]
F a,i:i = 0
In letteratura questa equazione viene scritta in questo modo perché si ha la
tendenza ad esprimere la derivata covariante in forma ...covarante, come
viene definita in modo, si potrebbe dire, spontaneo. Nel calcolo
tensoriale però è lecito alzare ed abbassare gli indici a piacere avvalendosi
del tensore metrico per cui è lecito esprimere la condizione di
annullamento della divergenza facendo uso della derivata covariante
scritta in forma controvariante. Pertanto posso anche scrivere:
[11a]
Fa,i:i = 0
Ma il campo elettromagnetico è legato al quadrivettore potenziale elettromagnetico
dalla relazione [2] ossia:
Fa,b = Ab:a − Aa:b
per cui, in assenza di cariche elettriche si ha:
[12]
Ai:a:i − Aa:i:i = 0
A questo punto si consideri la regola di commutazione delle derivate
covarianti di un vettore covariante. Entra in gioco il tensore di
Riemann ovvero si ha:
[13]
Aa:b:c −
Aa:c:b =
Ak·Rk,a,b,c
= Ak·Rk,a,b,c
Procedendo...molto lentamente... alzo l'indice c ed ottengo dunque:
[13a]
Aa:b:c −
Aa:c:b =
Ak·Rk,a,b,c
Contraendo a con c ( e indicando con i l'indice da contrarre) si ha:
[13b]
Ai:b:i −
Ai:i:b =
Ak·Rk,i,b,i
Ma la contrazione del tensore di Riemann produce o il tensore identicamente nullo
o il tensore di Ricci ( a meno del segno ). In particolare si ha:
[13c]
Rk,i,b,i = − Rk,b
e dunque:
[13b]
Ai:b:i −
Ai:i:b =
−
Ak·Rk,b
Se utilizziamo questa relazione nella [12] otteniamo:
[14]
Ai:i:a
−
Ak·Rk,a
−
Aa:i:i = 0
A questo punto teniamo presente che il quadrivettore potenziale
elettromagnetico deve anche soddisfare la condizione di calibrazione di Lorentz
per cui Ai:i =
Ai:i = 0 e pertanto il primo termine
scompare per cui si ha:
[15]
Aa:i:i =
−
Ai·Ri,a
Studiando il moto di un singolo fotone, anche in presenza di un grosso
campo gravitazionale, possiamo sempre trasformare la metrica in modo
che, localmente, ossia dove sta il fotone, lo spazio sia
piatto ovvero pseudoeuclideo.... attorno al fotone stesso.
Il fotone però, per il solo fatto di possedere energia ossia
di avere un tensore energia impulso non nullo, incurva lo
spazio secondo la legge di Einstein per cui, applicando la [10b]
si ha questa equazione non lineare:
[16]
Aa:i:i =
κ·Ai·Ti,a
Se trascuriamo il termine a secondo membro, vista la piccolezza
della costante κ otteniamo la solita, classica
equazione d'onda ossia il l'Alembertiano del potenziale
vettore vale zero.
Se però trattiamo rigorosamente questa equazione abbiamo
un sistema di equazioni non lineari la cui non linearità
è però ristretta attorno all'onda fotonica e sorge allora
una ovvia domanda: quali saranno le soluzioni
rigorose di questa equazione ed esisteranno soluzioni
solitoniche ?