Giampaolo Bottoni: 20090427
In rete: www.elegio.it/mc2/mia-equazione-calore-relativistica.html

Mia versione dell'equazione di Fourier relativistica

In http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_heat_conduction (pagina che viene citata da questa altra pagina en.wikipedia.org/wiki/Heat_equation in fondo ) leggo che l'equazione del calore relativistica sarebbe questa:

∂ t· θ = − ( α/C2 )· ∂ t2· θ + α· ( ∂ x2 + ∂ y2 + ∂ z2 )· θ

essendo ovviamente θ la temperatura e dove con C si intende non la velocità della luce ma una velocità fononica sempre ampiamente minore di c ( e per scrupolo preciso che con ∂ t indico la derivata parziale rispetto al tempo etc..) .

also known as Telegraph equation. Interestingly, the form of this equation traces its origins to Maxwell’s equations of electrodynamics; hence, the wave nature of heat is implied. In this equation, C is called the speed of second sound (i.e. the fictitious quantum particles, phonons) and this equation is known as the Hyperbolic Heat Conduction (HHC) equation.

Si tratta di un modello sviluppato, a quanto afferma la pagina citata, da vari autori:

workers such as Cattaneo [7], Vernotte [8], Chester [9], and others [10] proposed that Fourier equation should be upgraded from the parabolic to a hyperbolic form,
mentre io sospetto che ( molto più semplicemente ) la corretta equazione relativistica del calore in un mezzo in movimento, indicando come al solito con c = 299792458 [m/s] la velocità della luce, si debba scrivere:

c· ui· ∇i· θ = − α· ∇i· ∇i· θ

dove l'operatore ∇i è in realtà, la derivata covariante, come si trova definita, per esempio, nel libro di Hobson, Efstathiou e Lasenby ( ISBN 9780521829519 ) e dunque, in caso di metrica pseudoeuclidea, diventa non il laplaciano tradizionale ma il d'alembertiano. Però la mia versione è ( almeno formalmente) corretta anche nell'ambito della Relatività Generale e non solo di quella Speciale. Con ui ( quadrivettore controvariante segnalato dagli indici in alto ) si intende la quadrivelocità del corpo entro cui viene misurata la temperatura θ . Notare che l'operatore differenziale ui· ∇i è un operatore differenziale scalare e dunque invariante esattamente come lo è l'operatore ∇i· ∇i e dunque l'equazione è manifestamente invariante per trasformazioni di Lorentz.
Anche la mia equazione, nel caso di un corpo fermo ossia con ui = [ 1, 0, 0, 0 ] e per piccole velocità dell' onda di variazione della temperatura, viene a coincidere con la tradizionale equazione di Fourier ossia

∂ t· θ = α· ( ∂ x2 + ∂ y2 + ∂ z2 )· θ

dove ovviamente si usa la diffusività termica   α = k/( ρ· cp ) dove k è la conducibilità termica, ρ è la densità massica e cp è la capacità specifica del calore.

Però ora ho il dubbio che l'incongruenza non sia colpa dei realizzatori di quella pagina della wikipedia perché nella wikipedia si citano le fonti e si generalizza il concetto di velocità della luce ossia si parla di velocità fononica indicata da una C maiuscola.
Ovviamente gli autori affermano che la velocità fononica è sempre molto minore della velocità della luce c ma questo... non va bene, è in contraddizione con la faccenda dell'invarianza della temperatura rispetto ad un osservatore inerziale ! La velocità nella formula DEVE sempre essere c e non un C dipendente dalle proprietà del mezzo... altrimenti con una trasformazione di Lorentz la formula CAMBIA ! e questo NON E' AMMISSIBILE in Relatività sia Speciale che Generale !
Faccio inoltre notare che la mia formula si riduce a quella classica di Fourier sopprimendo il concetto di velocità fononica ma se proprio risultasse auspicabile, dal punto di vista fisico, tener conto di una velocità fononica ossia rendere più importante l'azione della derivata seconda rispetto al tempo ossia rendere ancora più iperbolica l'equazione di Fourier relativistica... basterebbe aggiungere un termine dato dal quadrato dell'operatore scalare ui· ∇i ossia aggiungere a primo membro un termine proporzionale a (ui· ∇i)2·θ.

Notare che la pagina per me CRITICABILISSIMA viene citata anche da web.mit.edu/redingtn/www/netadv/Xheateq.html e quindi sembra che l'espressione per me discutibilissima sembra sia accettata da vari autori. Ma come fanno questi autori a dimostrare che quella formula è invariante per una classicissima e superrelativistica trasformazione di Lorentz ??? Se sbaglio vorrei che qualcuno mi spiegasse perché l'invarianza per trasformazioni di Lorentz non vale per la temperatura (mentre vale per tutto il resto del mondo fisico, materia, fotoni,...).

Giampaolo Bottoni
gpbottoni@gmail.com
20090427

P.S. Naturalmente ho solo espresso qui la mia opinione su come andrebbe scritta l'equazione relativistica di Fourier sulla sola base della correttezza relativistica della formula ossia sulla sua invarianza per trasformazioni di Lorentz. Non ho fatto ricerche in letteratura su questa questione. Posso solo dire con pochi dubbi di sbagliare che... la mia equazione non sarà il modello giusto ma sicuramente quello citato dalla wikipedia è un modello SBAGLIATO.

P.S.2. A livello di effetti veramente infinitesimi a livello fisico ma rilevanti dal punto di vista formale - matematico vedere anche la pagina sulle equazioni di Maxwell in spazi curvi ovvero: www.elegio.it/mc2/maxwell-generale.html.