Ḙ Ḿ θ c. ausiliario interno c. ausiliario esterno orbita X ᶍ Y H A P S C B

Punti qualificanti del moto ellittico ( versione 2014 )

Se si fa uso delle velocità, molte relazioni si semplificano ed inoltre per caratterizzare dinamicamente un moto occorre specificare sia le posizioni che le velocità iniziali per cui è indispensabile conoscere quali sono le velocità che la particella ( asteroide o pianeta ) possiede quando si trova in una data posizione rispetto all'astro attorno a cui effettua l'orbita. Le grandezze interessanti sono le seguenti: Tra le suddette variabili esistono le seguenti relazioni:

a·vp·va = μ = G·M ;
vb2 = vp·va ;
vb·P = 2·π·a  ;
Ḿ  =  2·π·tP  =  μ1/2· ta3/2   ; ( anomalia media )

pertanto è una questione di gusti la scelta tra variabili indipendenti e variabili dipendenti in base alle suddette relazioni. In gergo c'è l'abitudine di parlare di anomalia che è di tre tipi: media Ḿ, vera θ ed eccentrica Ḙ. Segnalo Ḿ : http://en.wikipedia.org/wiki/Mean_anomaly, θ : http://en.wikipedia.org/wiki/True_anomaly e Ḙ : http://en.wikipedia.org/wiki/Eccentric_anomaly.

Dalla meccanica classica sappiamo che, in un sistema isolato, il momento della quantità di moto si conserva ossia è un invariante e quindi è importante che, qualunque sia la posizione e la velocità del pianeta, nel caso di moto piano ossia essendo z e vz nulli, valga la relazione:

mx  =  y·vz − z·vy  =  0 ;
my  =  z·vx − x·vz  =  0 ;
mz  =  x·vy − y·vx  =  2·a·va·vpva + vp ;

Un altro importante parametro geometrico frequentemente usato per caratterizzare l'ellisse è la così detta eccentricità ec che è una quantità adimensionale compresa tra 0 ed 1. Nota l'eccentricità e il semiasse maggiore a si calcola il semiasse minore b o viceversa... L'eccentricità dipende dalle velocità in base alla seguente relazione:

vb = 2·π·aP

ec = | vp − va | ( vp + va ) = vp2 − vb2 vp2 + vb2 ;

vp2 = vb2· 1 + ec1 − ec ;

va2 = vb2· 1 − ec1 + ec ;

b = a·( 1 − ec2 )1/2 = 2·a·vb vp + va

L'equazione canonica dell'ellisse ( con x distanza dal centro ossia il punto medio tra i due fuochi ) è :

y = ( 1 − ec2 )1/2 · ( a2 − x2 )1/2 = ba · ( a2 − x2 )1/2

da cui si trae il suggerimento di usare solo la velocità al periastro vp, quella all'apoastro va ed eventualmente il valore bilanciato ossia la loro media geometrica ovvero vb, come parametri per caratterizzare l'ellisse unitamente alla massa efficace μ, dato che il principale parametro geometrico, ossia il semiasse maggiore, è ricavabile dalla formula   a = μ( vp·va )   mentre   P = 2·π·μ ( vp·vb·va ) = 2·π·μvb3.   Usando come parametro la così detta anomalia eccentrica  Ea  ( che nel disegno indico con  Ḙ  ) e la così detta anomalia vera  th  ( che nel disegno indico con  θ  ), le equazioni del moto possono essere scritte in questo modo ( Ma attenzione: usando come origine il fuoco in cui sta l'astro e non il centro dell'ellisse ossia il punto sulla congiungente tra i fuochi e ad uguale distanza dai due fuochi ):

t  =  μ·( ( vp + va )·Ea − ( vp − va )·sin( Ea ) ) ( vb3·( vp + va ) ) ;

= ( Ea − ec·sin( Ea ) )·P(2·π)
( equaz. di Keplero per trovare Ea dato t );

x  =  μ·( ( vp + va )·cos( Ea ) − vp + va ) ( vb2·( vp + va ) ) = a·( cos(Ea) − ec );

Quando Ea = 0 : x = 2·a·vavp + va ;
Quando Ea = π : x = − 2·a·vpvp + va ;

y  =  2·μ·sin( Ea ) ( vb·( vp + va ) )   = b·sin(Ea);

tan( th2 ) = ba·(1 − ec) · tan( Ea2 ) = ( 1 + ec 1 − ec )1/2· tan( Ea2 ) ;

vx  =  −vb·( vp + va )·sin(Ea) ( vp + va + ( va − vp )·cos(Ea) )   ;

vy  =  2·va·vp·cos(Ea) ( vp + va + ( va − vp )·cos(Ea))  ;

Da cui si ricavano i punti più significativi della traiettoria ossia quando Ea, ovvero Ḙ, vale 0, al perielio e quando Ea, ovvero Ḙ, vale π2, per cui il pianeta sta sul semiasse minore alla distanza dal Sole uguale al semiasse maggiore a.
In questo punto la sua velocità in direzione delle ascisse vale  −vb   mentre è nulla in direzione delle ordinate.
Importante anche quando Ea vale π ossia all'afelio ma soprattutto quando  x  vale   a·ec   ( l'ascissa del Fuoco dell'ellisse ) mentre  y  vale   a·( 1 − ec2 )   ossia quando   cos(Ea) = ( vp − va ) ( vp + va ) e dunque   sin(Ea ) = 2·vb( vp + va ).

L'anomalia eccentrica Ea , ovvero Ḙ, quando il pianeta è ad un angolo retto da quando era al perielio o all'afelio è dunque ricavabile dalla formula   tan( Ea2 ) = vbvp   ed y = a·( 2·vbvp + va )2 = a· 4·vp·va (vp+va)2   ossia un altro modo di scrivere   a·( 1 − ec2 ).

In questa interessantissima posizione utile per controlli numerici, anche le velocità assumono una espressione semplicissima ossia in direzione delle ascisse   vx = − vp+va2   e in direzione delle ordinate   vy = vp − va2   e dunque il valore assoluto della velocità in questo punto vale   vmed = ( vp2 + va2 2 )1/2.

Altro dato utile, soprattutto quando si lavora in tre dimensioni, è il fatto che quando l'asteroide dista dall'astro esattamente quanto il semiasse maggiore dell'orbita, il valore assoluto del prodotto scalare tra il versore della sua posizione ed il versore della sua velocità è l'eccentricità ec dell'orbita. Dunque se la velocità è ortogonale al versore della posizione l'asteroide sta effettuando un'orbita perfettamente circolare mentre è un caso limite il caso in cui i due versori sono esattamente coincidenti perché si tratta del moto di pura fuga o caduta sull'astro.

 

Da http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_gravitational_parameter leggo valori leggermente diversi da quelli usati qui a titolo di esempio ossia che "the heliocentric gravitational constant or geopotential of the sun and equals 1.32712440018e20 [m3/s2]" e dunque, in base al valore standard della velocità della luce, 299792458 [m/s] , il semiraggio del buco nero solare ossia, nella meccanica classica, il semiasse maggiore che richiederebbe alla particella di avere come velocità bilanciata vb la velocità della luce è 1476.62503825 [m]. Ovviamente per raggi al di sotto di questo valore limite, la meccanica classica è sicuramente inapplicabile. Per calcolare con maggiore precisione l'orbita della Terra+Luna imperturbata ossia come se non ci fossero Venere, Marte, Giove etc. bisogna tenere in conto anche la massa della particella Terra+Luna che è circa 1/328939.5 della massa del Sole.

Notabene Il rapporto MSole/(MTerra+MLuna) in base ai dati che ho scritto in tabella vale 328939.5 mentre il rapporto MSole/Mterra vale 332982 ed il rapporto Mterra/Mluna vale 81.376 ossia la massa della Luna è circa un 81_simo della massa della Terra per cui, a spanne, il punto che subisce una uguale forza attrattiva dalla Terra e dalla Luna sta a 9 volte distante dalla Terra rispetto a quanto dista dalla Luna.

Risultato:

--

Per calcolare numericamente le traiettorie : http://www.elegio.it/mc2/rk/rk-ode2.html

Le quattro equazioni differenziali da risolvere sono: Le condizioni iniziali sono invece: Ed il periodo P vale In conclusione basta fissare il semiasse maggiore e le due velocità ( la massima ossia vp e la minima ossia va ) per determinare completamente il moto ma, per dare senso fisico ai calcoli è forse meglio usare esplicitamente la costante μ = G·M ossia la massa del Sole o della Terra quando si considerano i suoi satelliti...

Volendo usare Maxima...

Trascrivo qui le funzioni che servono...

/*

*/ /* Moto ellittico */ /*

*/ /* Calcolo fuoritema dell'età della luna */ /* 

Premetto il calcolo dell'età della Luna...
*/

print(timedate(absolute_real_time()-8*3600))$

/* Calcola la data odierna in modo approssimato ma
 con la possibilità di correggerla di d giorni  */

xamg(d):=block([at,a,m,g],
at:floor(d*86400)+absolute_real_time(),
a:1900+floor(at/31557600),
m:1+mod(floor(at/2629800),12),
g:1+floor(mod(at,2629800)/86400),
return([a,m,g]))$

/* Calcola l'età della Luna dato un vettore di [anno,mese,giorno] */

falu(AMG):= block([NumDoro,NumSeco,Epatta,fal],
NumDoro:1+mod(AMG[1],19),
NumSeco:floor(AMG[1]/100),
Epatta:mod(296+11*NumDoro+floor(NumSeco/3)-floor((3*NumSeco-1)/4),30),
fal:mod(Epatta+AMG[2]+AMG[3]-2*floor((AMG[2]+9)/12)-1,30),
/* print(NumDoro," ",NumSeco," ",Epatta," "+fal), */
return(fal))$
print("A questa data ",xamg(1)," l'età della Luna è ",falu(xamg(1)))$

/*

*/ /* Calcolo dei dati del pianeta in base ad a,va e vp oppure in base ad a,vp, e GM. */ /* 

*/

/*
Queste sono le coordinate del pianeta in funzione dell'anomalia
eccentrica ossia ea che va data in radianti.
a è il semiasse maggiore dell'orbita,
va à la velocità all'afelio
vp è la velocità al perielio 

GM è il prodotto della costante di gravitazione universale
per la massa del Sole+quella del pianeta ed è ip prodotto
di a*va*vp.
---
Da queste grandezze viene dedotto il periodo P, l'istante temporale t,
le coordinate cartesiane x ed y e la velocità istantanea,
vx e vy oltre che la velocità media vm che è la media quadratica
tra va e vp.
*/

/* Lavoro con 32 cifre significative */
fpprec:32;

/*
Versione iniziale ...migliorabile...
*/

pianeta(ea,a,vp,GM):=block([va,vm,P,t,x,y,xv,vy,sinea,cosea],
va:GM/(a*vp),vm:sqrt(GM/a),P:bfloat(2*%pi*GM/vm^3),
sinea:bfloat(sin(ea)),cosea:bfloat(cos(ea)),
t:GM*((vp+va)*ea-(vp-va)*sinea)/((vp+va)*vm^3),
x:GM*((vp+va)*cosea-vp+va)/((vp+va)*vm^2),
y:2*GM*sinea/((vp+va)*vm),
vx:-vm*(vp+va)*sinea/((va-vp)*cosea+vp+va),
vy:2*va*vp*cosea/((va-vp)*cosea+vp+va),
return([P,va,vm,vp,t,x,y,vx,vy,a]))$

/*
A mio parere questa variante è da preferirsi all'altra
perché fa dipendere i risultati solo da lunghezze
e velocità minima e massima.
*/

/*

*/

pianetan(ea,xa,xva,xvp):=block([t,x,y,xv,vy,
GM,a,P,va,vm,vp,ec,sinea,cosea],
a:bfloat(abs(xa)),
va:min(bfloat(abs(xva)),bfloat(abs(xvp))),
vp:max(bfloat(abs(xva)),bfloat(abs(xvp))),
if a=0 then a:bfloat(1),
vm:sqrt(va*vp),GM:a*va*vp,
P:bfloat(%pi)*bfloat(2*a/vm),ec:(vp-va)/(vp+va),
sinea:bfloat(sin(ea)),cosea:bfloat(cos(ea)),
t:GM*((vp+va)*ea-(vp-va)*sinea)/((vp+va)*vm^3),
x:GM*((vp+va)*cosea-vp+va)/((vp+va)*vm^2),
y:2*GM*sinea/((vp+va)*vm),
vx:-vm*(vp+va)*sinea/((va-vp)*cosea+vp+va),
vy:2*va*vp*cosea/((va-vp)*cosea+vp+va),
return([t,x,y,vx,vy,GM,a,P,va,vm,vp,ec,ea]))$

/*

*/

/*
Questo è un modo molto efficiente ( E CLASSICO ) di calcolare
il tempo. Va meditato e si usa per calcolare ea noto il tempo... 
*/

fatempo(ea,a,va,vp):=block([ec,vm],
vm:sqrt(va*vp),
ec:(vp-va)/(vp+va),
return((ea-ec*sin(ea))*a/vm))$

/*
Una funzione per trovare l'anomalia corrispondente al tempo voluto.
Per eccentricità grandi funziona mediocremente ma nel sistema
solare le eccentricità sono piccole e poi con un
massimo di 1000 iterazioni ottiene un buon risultato...
*/

/*
Notare che questa versione sfrutta una formula trigonometrica
per accelerare i calcoli...
*/

/* Come prec va usato un numero gigantesco tipo 1.e30 */
fanomalia(t,prec,a,va,vp):=block([jj,ec,vm,trad,x,xv],
ec:bfloat((vp-va)/(vp+va)),
trad:bfloat(t*sqrt(va*vp)/a),
xv:trad,x:trad+ec*sin(trad),jj:1000,
for j:1 step 1 while abs(prec*jj*(x-xv))>1 do(
    jj:jj-1,
    xv:x,
    x:xv+(trad-xv+ec*sin(xv))/(1-ec*cos(xv))),
print("Eccentricità ",ec," Iterazioni  fatte ",(1000-jj)),
return(x)
)$

xa:2$xva:1/10$xvp:19/10$
xea:fanomalia(15b0,1.0e30,xa,xva,xvp);bfloat(fatempo(xea,xa,xva,xvp));

/*
Il momento della quantità di moto deve essere una costante
e dunque è una ottima verifica della precisione dei calcoli.
*/

momento(pia):=block([a,va,vp,altrot],
a:pia[7],va:pia[9],vp:pia[11],
print("Il momento in base ad a,va e vp ",2*a*va*vp/(va+vp)),
altrot:fatempo(pia[13],a,va,vp),
print("Il tempo calcolato in modo classico ",altrot),
return([pia[1],pia[2]*pia[5]-pia[3]*pia[4],a,va,vp]))$

/*
Confronto i risultati calcolati dalla vecchia funzione e dalla
nuova.
*/

/* vettore risultato vecchio, vettore nuovo */
confronto(pv,pn):=block([t,x,y,xv,vy,
GM,a,P,va,vm,vp,ec],
P:pv[1]-pn[8],
va:pv[2]-pn[9],
vm:pv[3]-pn[10],
vp:pv[4]-pn[11],
t:pv[5]-pn[1],
x:pv[6]-pn[2],
y:pv[7]-pn[3],
vx:pv[8]-pn[4],
vy:pv[9]-pn[5],
a:pv[10]-pn[7],
GM:pn[6],
ec:pn[12],
return([P,va,vm,vp,t,x,y,vx,vy,a,GM,ec])
)$

/*
Stampo i dati usando la vecchia funzione e non la nuova...
*/

stampianeta(dap):=block([ec],
print("Periodo in secondi",dap[1]),
print("Periodo in giorni ",dap[1]/86400.0),
ec:((dap[4]-dap[2])/(dap[4]+dap[2])),
print("Eccentricità ",ec),
print("Velocità all'afelio",dap[2]),
print("Velocità media",dap[3]),
print("Velocità al perielio",dap[4]),
print("tempo in secondi",dap[5]),
print("tempo arrotondato ore   ",round(dap[5]/3600.0)),
print("tempo arrotondato giorni",round(dap[5]/86400.0)),
print("Semiasse maggiore ",dap[10]),
print("Ascissa x ",dap[6]),
print("Ordinata y ",dap[7]),
print("Distanza dal Sole ",sqrt(dap[6]^2+dap[7]^2)),
print("Velocità x ",dap[8]),
print("Velocità y ",dap[9])
)$

/*
All'incirca l'anno terrestre ( considerando nulla la precessione 
degli equinozi ) dura di più dell'anno civile
che, approssimato dal calendario gregoriano, dura 365+1/4-3/400 giorni.
Il vero moto della Terra attorno al Sole, come lo vedrebbe, per
esempio un osservatore da Regolo o da Spica o da Antares, dura: 
*/

/* Durata dell'anno in secondi: */
anno:(365.0+1/4+1/150)*3600*24;

/*
Il semiasse maggiore in accordo con l'anno e col prodotto GM, è questo:
*/

GMpreciso:1.327581b20;
apreciso:149.61496b9;

/*
Quando l'anomalia eccentrica vale 0 ossia sull'asse maggiore 
al perielio ottengo:
*/

pv1:pianeta(0,apreciso,30300,GMpreciso)$
xva:GMpreciso/(apreciso*30300)$
pv1n:pianetan(0,apreciso,xva,30300.0)$
stampianeta(pv1)$
confronto(pv1,pv1n);

/*
Esattamente sull'asse minore ..
*/

pv2:pianeta(bfloat(%pi/2),apreciso,30300,GMpreciso)$
xva:GMpreciso/(apreciso*30300)$
pv2n:pianetan(bfloat(%pi/2),apreciso,xva,30300.0)$
stampianeta(pv2)$
confronto(pv2,pv2n);

/*
Dove l'ascissa dovrebbe essere nulla...
*/

xvp:bfloat(30300)$
xva:GMpreciso/(apreciso*xvp)$
xea:2*atan(sqrt(xva/xvp))$
pv3:pianeta(xea,apreciso,xvp,GMpreciso)$
pv3n:pianetan(xea,apreciso,xva,xvp)$
stampianeta(pv3)$
confronto(pv3,pv3n);

/*
Verifico che il momento della quantità di moto è una costante
e che il tempo si può calcolare usando l'eccentricità.
*/

momento(pv1n);momento(pv3n);momento(pv2n);

xtempo:86400*123$
xvp:bfloat(30300)$
xva:GMpreciso/(apreciso*xvp)$
xea:fanomalia(xtempo,10e30,apreciso,xva,xvp)$
print("Vuole calcolare al tempo ",xtempo)$
pv4:pianeta(xea,apreciso,xvp,GMpreciso)$
pv4n:pianetan(xea,apreciso,xva,xvp)$
stampianeta(pv4)$
momento(pv4n);
confronto(pv4,pv4n);

/*
Dunque quando l'anomalia eccentrica vale %pi/2 la velocità
in direzione y è nulla mentre la velocità in direzione
x è quella media vm e la distanza dal Sole è esattamente il
semiasse maggiore. 
*/

/*
Anche se non è noto il termine GM basta conoscere il periodo
P ed il semiasse maggiore a da cui si deduce la velocità
media 2*%pi*a/P = vm.
*/

/*
Conoscendo l'eccentricità ec, l'asse maggiore dell'ellisse a è
direzionato nella stessa direzione della velocità media quando
l'anomalia eccentrica vale %pi/2 e il centro dell'ellisse sta
alla distanza ec*a dall'origine dove sta il Sole.
*/

/*
Queste considerazioni valgono anche in tre dimensioni ossia
basta sapere dove sta il pianeta quando dista dal Sole
esattamente l'asse maggiore e dove è diretta la sua velocità
perché questo permette di individuare il centro dell'ellisse
che rappresenta la traiettoria del pianeta.
*/

vp:bfloat(3);va:bfloat(2/3);

a:bfloat(16);

/*
Dimostro che usando come anomalia eccentrica 2*atan(sqrt(va/vp))
trovo il punto caratterizzato da ascissa nulla ed ordinata
4*a*va*vp/(va+vp)^2
*/

4*a*va*vp/(va+vp)^2;

/*
Ora lo verifico usando le funzioni standard...
*/

statopianeta:pianeta(2*atan(sqrt(va/vp)),a,vp,a*vp*va)$
stampianeta(statopianeta);
pia:pianetan(2*atan(sqrt(va/vp)),a,va,vp)$
confronto(statopianeta,pia);

/*
Questo punto, ossia il punto nella
direzione ortogonale alla congiungente perielio..afelio è un
punto molto importante dal punto di vista dinamico perché
consente una verifica che sia corretto anche il punto 
del perielio e dell'afelio che sono di difficile determinazione
numerica dato che in prossimità dell'afelio e del perielio
la distanza dal Sole varia poco per cui è difficile capire
l'istante in cui la velocità radiale è esattamente nulla.

Ovviamente una indicazione la si ha guardando quando Vy vale
zero... ma avere la possibilità di fare una verifica in più
non è da disprezzare...
*/

cosea:(Vp-Va)/(Vp+Va);

sinea:2*sqrt(Va*Vp)/(Vp+Va);

/*
Ovvia verifica...
*/

ratsimp(cosea^2+sinea^2);

/*
Quindi trovo il valore delle velocità quando l'ascissa vale zero.
*/

Vx:ratsimp(-sqrt(Va*Vp)*(Vp+Va)*sinea/(Vp+Va+(Va-Vp)*cosea));
-(vp+va)/2;

Vy:ratsimp(2*Va*Vp*cosea/(Vp+Va+(Va-Vp)*cosea));
(vp-va)/2;

/*

*/ /* Conclusione */ /* 

*/

/*
Mi sembra di avere dimostrato la correttezza delle funzioni
per lo studio della traiettoria di un pianeta attorno al Sole = Elio.
*/

/*
Per il mio piccolo sistema solare sarebbero da usare le seguenti iniziali:
E,M,V,T,A,G,S,U,N ossia Elio ( da cui perielio ed afelio ), Mercurio, Venere,
Terra, Ares ( non potendo usare la M ), Giove, Saturno, Urano, Nettuno ed 
eventualmente Luna...
*/

/*
*/

Qui è richiesta la coerenza nell'assegnazione dei dati ossia il valore di vm deve essere non superiore al valore di vp e questo dipende dal valore di GM e di a.

Dati sul sistema solare

 M [Yg]a [Gm]ec P [giorni]
Sole ☼1.9889e9---
Mercurio ☿330.157.90.205687.66
Venere ♀4868108.20.0068226.45
Terra ♁5973149.60.0167365.2530
Luna ☽73.4---
Marte ♂641.8227.90.0934686.65
Giove ♃1899000778.30.04834331.77
Saturno ♄5686001426.60.056010760.
Urano ♅868402870.60.046130830.
Nettuno ♆1024004498.40.009760192.
Plutone ♇14.715906.40.248290470.

Massa del pianeta in yottagrammi [Yg] = 1.e21 [kg] ossia 1.e24 grammi e le distanze in [Gm] ossia gigametri ovvero 1.e9 [m]. Dunque la Massa della Terra: 5973 [Yg], quella del Sole: 1.9889e9 [Yg]. La massa della Terra, in base a questi dati è dunque 81.376 volte quella della Luna. Il punto di equilibrio tra l'attrazione della Luna e della Terra è quindi circa 1/9 della distanza tra il punto distante dalla Terra ossia 1/10 della distanza totale... ossia se la distanza media è di 384000 km il punto sta a 38400 km dalla Luna e 345600 km dalla Terra.

Il periodo medio di rotazione della Luna attorno alla Terra è di 27.32 giorni e quindi la sua velocità media è di circa 1022 metri al secondo.

Per la messa a punto delle funzioni di calcolo della data giuliana

Raccolgo qui alcuni algoritmi utili nei calcoli di astronomia... Applico il calendario gregoriano anche a date anteriori dalla sua introduzione ufficiale nello Stato Pontificio. Si tratta di un calendario semplice e valido per stimare il clima e le stagioni terrestri anche vari millenni fa...

xxx

yyy

G.G.=

d=  m=  a=

...

...

Ricordare che il giorno giuliano inizia a mezzogiorno del tempo universale ( ora di Greenwich ) per cui ogni capodanno cade a metà del 31 dicembre e bisogna attendere 12 ore per avere l'inizio del primo gennaio dell'anno nuovo.

Di notte, guardando la stella Polare e dunque volgendo le spalle al sud, la Luna piena sorge a destra mentre il Sole sta tramontando o è appena tramontato a sinistra; la Luna passa alle spalle a mezzanotte e tramonta a sinistra all'alba del nuovo giorno quando il Sole sta per sorge o è appena sorto a destra... Attorno alla stella Polare le stelle ruotano in senso antiorario...

Alcune date utili per controllo:

1/3/2004==2453066, Lunedì
1/3/2001==2451970, Giovedì
1/1/2001==2451911, Lunedì
1/3/2000==2451605
24/5/1946==2431965, Venerdì
1/3/1900==2415080
1/3/1800==2378556
15/10/1582==2299161, Venerdì

Le congiunzioni di Venere con altri pianeti e col Sole sono dati sperimentali utili

Trascrivo le congiunzioni strettissime di Venere col Sole ossia quando Venere è stata visibile come un dischetto nero sulla sfera luminosissima del Sole. Vedere pag. 142 del libro "Enciclopedia Feltrinelli Fischer 3 - Astronomia - a cura di Karl Stumpff, Göttingen, aprile 1957 - edizione italiana a cura di Margherita Hack - traduzione dal tedesco di Libero Sosio - Prima edizione italiana: aprile 1963".
6/12/1631==2317110, Sabato
4/12/1639==2320030, Domenica
6/6/1761==2364409, Sabato
3/6/1769==2367328, Sabato
9/12/1874==2405867, Mercoledì
6/12/1882==2408786, Mercoledì
8/6/2004==2453165, Martedì
6/6/2012==2456085, Mercoledì

Da questo dati si vede che l'intervallo tra due eclissi vicine è un dato quasi costante ossia 2920 giorni o un giorno in meno. Viceversa è più variabile l'intervallo tra due eclissi a grossa distanza temporale ossia 44379 giorni in due casi e 38539 in un altro.

Se l'alternanza di intervalli grandi lunghi e meno lunghi si ripeterà, la prossima eclisse dovrebbe avvenire 38539 giorni dopo quella del 6 giugno 2012 ossia il G.G. 2494624 ovvero il 12 dicembre 2117, domenica e dopo quella, altri 2919 giorni ossia il G.G. 2497543 ovvero il 9 dicembre 2125, domenica.... Sarà una estrapolazione corretta ???

Cercando su internet gongolo !  Quasi AZZECCATA! in base a quello che prevedono qui: l' 11 dicembre 2117 e non il 12: http://astro.ukho.gov.uk/nao/transit/V_2117/. Molto interessante questo sito citato dalla Wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Transito_di_Venere.

Dalla Luna vengono occultate anche stelle di prima grandezza ossia Aldebaran, Regolo, Spica e Antares.

Eventi frequenti che permettono di fare verifiche sperimentali sono le opposizioni dei pianeti esterni col Sole e le congiunzioni col Sole che avvengono con tutti i pianeti. Mercurio e Venere non hanno opposizioni ma solo congiunzioni strette e larghe ossia quando il Sole è dietro il pianeta interno o quando il pianeta è dietro al Sole ossia sarebbe eclissato dal Sole se fosse possibile vederlo in pieno giorno...

Transiti citati dalla Wikipedia

Di Mercurio visto dalla Terra:
http://en.wikipedia.org/wiki/Transit_of_Mercury
16311107, 16511103, 16610503, 16771107, 17431105, 17530506, 17691109,
18021109, 18151112, 18221105, 18320505, 18351107, 18450508, 18481109,
18611112, 18681105, 18780506, 18811107, 18910509, 18941110, 19071117,
19141107, 19240508, 19271110, 19370511, 19401111, 19531114, 19570506,
19601107, 19700509, 19731110, 19861113, 19931106, 19991115, 20030507,
20061108, 20160509, 20191111, 20321113, 20391107, 20490507, 20521109,
20620510, 20651111, 20781114, 20851107, 20950508, 20981110, 21080512 ...
Della Terra vista da Marte:
http://en.wikipedia.org/wiki/Transit_of_Earth_from_Mars
15951110, 16210505, 17000508, 18001108, 18791112,
19050508, 19840511, 20841110, 21631115, 21890510, 22680513, 23681113,
23940510, 24471117, 24730513 ...
Della Terra vista da Giove:
http://en.wikipedia.org/wiki/Transit_of_Earth_from_Jupiter
20020101, 20080709, 20140105, 20260110, 20550624, 20670629, 20721226, 
20790704, 20841231, 20910709, 20970104, 21090110 ...
Della Terra vista da Saturno:
http://en.wikipedia.org/wiki/Transit_of_Earth_from_Saturn
20050114, 20200721, 20490715, 20640116, 20780711, 20930109 ....
Dalla Terra vista da Urano:
http://en.wikipedia.org/wiki/Transit_of_Earth_from_Uranus
19810519, 19820524, 19830529, 19840602, 19850606, 19860611, 19870616, 19880620
20241117, 20251121, 20261126, 20271130, 20281203, 20291208, 20301212, 20311217, 20321221,
20650519, 20660524, 20670529, 20680602, 20690607, 20700612, 20710617, 20720620 ...
Dalla Terra vista da Nettuno:
http://en.wikipedia.org/wiki/Transit_of_Earth_from_Neptune
20010730, 20020802, 20030804, 20040806, 20050808, 20060811,
20820125, 20830128, 20840130, 20850201, 20860203, 20870206, 20880608 ....

Una approssimazione utile nella grafica

Qui dimostro che, per valori della eccentricità non elevatissimi, l'approssimazione di fare girare l'asteroide a velocità angolare costante NON attorno al fuoco occupato dall' astro ma attorno al fuoco NON occupato dall'astro, funziona ottimamente ossia evita di dovere risolvere l'equazione di Keplero che, come è noto, bisogna risolvere in modo iterativo. Questa approssimazione può servire anche per inizializzare bene la soluzione iterativa dell'equazione di Keplero.. e qui, per maniaco amore di alta precisione faccio anche pochissime iterazioni per migliorare, inutilmente dati gli scopi solo grafici, la precisione del calcolo...

Si possono fare varie simulazioni specificando a ossia il valore del semiasse maggiore che non deve essere maggiore di 2000 se non si vuole sconfinare dal disegno, va sarebbe la velocità all'apoastro e vp la velocità al periastro ma questi due valori servono solo a definire la eccentricità dell'ellisse ossia un numero adimensionale che deve essere maggiore di zero e minore di uno. Si può anche fissare la rotazione in gradi dell'ellisse attorno al centro definito come il punto equidistante dai due fuochi, quello occupato dall'astro e l'altro, e sulla loro congiungente.

 a=  va=  vp=  g°=

http://www.elegio.it/svg/tanteparabole.html per capire l'utilità della parabola scritta in forma parametrica come ideato da Bézier..

http://www.elegio.it/svg/traiettoria-precisa.js.html

Un consiglio: guardare il commentatissimo sorgente Javascript per apprezzare i risultati qui visualizzati e magari riutilizzare le function contenute in questo documento...
Giampaolo Bottoni
gpbottoni@gmail.com
http://www.alumni.polimi.it/it/Wall
( ing. nucleare 1972 )