Gravitazione repulsiva
La
Kerr-Newman geometry ovvero la soluzione del buco nero ruotante
ingloba la soluzione di Reissner e Nordström
( riportata per esempio in:
http://en.wikipedia.org/wiki/Reissner-Nordstrom#_metric
)
ossia la soluzione del buco nero non ruotante. Sfruttando quanto riportato nel
libro di Daniele Funaro ( ISBN 9789812814517 ) potrei tentare ( non ci sono particolari difficoltà
concettuali ma solo algebriche ) di evidenziare effetti repulsivi della gravitazione
in presenza di uno spin del buco nero ma, per ora mi accontento di
mettere in luce la repulsione nel caso di un buco nero non rotante.
Il mio quesito è questo: perché continuare a cercare di
nascondere la
singolarità gravitazionale accettando solo soluzioni in cui si manifesti
un orizzonte degli eventi ?
Nel caso di un buco nero neutro ossia nel caso della classica soluzione
di Schwarzschild, l'esistenza dell'orizzonte degli eventi è inevitabile mentre se
si suppone che il valore della carica sia adeguatamente alto in confronto alla
massa propria del buco nero ( cosa che si verifica con elettroni e quark )
l'orizzonte degli eventi scompare e dunque tutto lo spazio fino alla
singolarità diventa visibile dall'infinito e dunque la singolarità diventa "nuda".
Una singolarità nuda sembra far paura ai teorici ma io, forse per le mie limitazioni
culturali e/o intellettuali non riesco proprio
a capire il perché ... Anche l'elettrone è, dal punto di vista del campo elettromagnetico
che genera, una singolarità delle equazioni di Maxwell ma... quegli infiniti
che nascono dalle cariche elettriche non impediscono
di usare il modello dell'elettrodinamica deterministica e
di cavarci risultati aderenti ai dati sperimentali in
moltissimi esperimenti di grandissimo interesse pratico...
Ricopiamo innanzi tutto le espressioni che stanno a pag. 126 del libro di Daniele Funaro con solo
qualche piccolo ritocco necessario per le limitazioni della libreria HTML
per il calcolo tensoriale che uso ( non sono previste variabili col cappelletto):
Definiamo innanzi tutto un sistema di coordinate [ #q_ , #f_ , #v_ ] così
definito:
( x_2^ + y_2^ )/( #q_2^ + #g_2^ ) + z_2^/#q_2^ = 1
essendo #g_ un parametro costante legato alla rotazione del buco nero ( #g_ = 0
se il buco nero non ruota ).
Per ottenere la terna di coordinate cartesiane [ x_, y_, z_ ] essendo nota la terna
[ #q_ , #f_ , #v_ ] si usano le seguenti espressioni:
x_ = ( #q_2^ + #g_2^ )1/2^ *_ sin( #f_ ) *_ cos( #v_ )
y_ = ( #q_2^ + #g_2^ )1/2^ *_ sin( #f_ ) *_ sin( #v_ )
z_ = #q_ *_ cos( #f_ )
Introduciamo le costanti m_ e q_ legate rispettivamente alla massa e alla
carica del buco nero e definiamo, per brevità, la seguente
funzione di #q_ e di #f_:
#N_ = ( 2*_ m_*_ #q_ -_ q_2^ )/( #q_2^ + #g_2^*_cos( #f_ )2^ )
Il tensore metrico covariante g_h!k! espresso in funzione delle coordinate
spaziali [ #q_ , #f_ , #v_ ] ed usando la segnatura ( +,-_,-_,-_ ) e ponendo
c_ = 1 la velocità della luce,
ha i seguenti elementi:
g_0!0! = 1 -_ #N_
g_1!0! = g_0!1! = 0
g_2!0! = g_0!2! = 0
g_3!0! = g_0!3! = #N_*_#g_*_sin( #f_ )2^
g_1!1! = -_ ((#q_2^ + #g_2^)/(#q_2^ + #g_2^*_cos( #f_ )2^) -_ #N_)-1^
g_1!2! = g_2!1! = 0
g_1!3! = g_3!1! = 0
g_2!2! = -_(#q_2^ + #g_2^ *_ cos( #f_ )2^ )
g_2!3! = g_3!2! = 0
g_3!3! = -_ (#q_2^ + #g_2^) *_ sin( #f_ )2^ -_ #N_*_#g_2^*_sin( #f_ )4^
Tra le grandezze deducibili da questa metrica si ha:
|g_|1/2^ = ( #q_2^ + #g_2^*_cos( #f_ )2^)*_|sin( #f_ )|
R_ = g_H!K!*_R_h!k! = 0
dove R_h!k! è il tensore di Ricci che non è nullo se q_ non è nullo ma ha
nullo il suo invariante R_ per qualsiasi valore di q_ e di #g_.
Per maggior chiarezza visualizzo il tensore metrico covariante come
una tabella ad elementi simmetrici:
g_i!k! | = |
┌ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └ |
1 -_ #N_ |
0 |
0 |
#N_*_#g_*_sin( #f_ )2^ |
┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┘ |
0 |
-_ ((#q_2^ + #g_2^)/(#q_2^ + #g_2^*_cos( #f_ )2^) -_ #N_)-1^ |
0 |
0 |
0 |
0 |
-_(#q_2^ + #g_2^ *_ cos( #f_ )2^ ) |
0 |
#N_*_#g_*_sin( #f_ )2^ |
0 |
0 |
-_ (#q_2^ + #g_2^) *_ sin( #f_ )2^ -_ #N_*_#g_2^*_sin( #f_ )4^ |
|
Nel fare i calcoli tensoriali è necessario disporre non solo del tensore metrico
in forma covariante ma anche del tensore metrico controvariante. Il fatto che il tensore
metrico della metrica di Kerr-Newman non sia diagonale solleva qualche piccola difficoltà algebrica
che però è superabile nel seguente modo: scriviamo una generica matrice con
una struttura di elementi non nulli simile a quella del nostro tensore metrico
covariante:
A_ | = |
┌ │ │ │ │ └ |
a_ |
0 |
0 |
b_ |
┐ │ │ │ │ ┘ |
0 |
c_ |
d_ |
0 |
0 |
e_ |
f_ |
0 |
g_ |
0 |
0 |
h_ |
|
La sua inversa A_-1^ ha non nulli gli stessi elementi della matrice originaria ossia:
è data da:
A_-1^ | = |
┌ │ │ │ │ └ |
h_*_#a_ |
0 |
0 |
-_b_*_#a_ |
┐ │ │ │ │ ┘ |
0 |
f_*_#b_ |
-_d_*_#b_ |
0 |
0 |
-_e_*_#b_ |
c_*_#b_ |
0 |
-_g_*_#a_ |
0 |
0 |
a_*_#a_ |
|
dove si è definito:
#a_ = 1/(a_*_h_ -_ b_*_g_ )
#b_ = 1/(c_*_f_ -_ d_*_e_ )
Il determinante di A_ assume inoltre la semplice espressione:
det(A_)= (a_*_h_ -_ b_*_g_ )*_(c_*_f_ -_ d_*_e_ ) = 1/( #a_ *_ #b_ )
Tutto questo serve a chiarire il fatto che anche se il tensore metrico della metrica di
Kerr-Newman non è una matrice diagonale, il calcolo della matrice inversa,
ossia il tensore metrico in forma controvariante, non risulta particolarmente
lungo dal punto di vista numerico-computazionale.
Comunque... se, arrivati a questo punto, poniamo #g_ = 0 otteniamo un buco nero non rotante e possiamo
semplificare notevolmente le espressioni. Innanzi tutto si ha:
#q_ = r_ = ( x_2^ + y_2^ + z_2^ )1/2^
#N_ = ( 2*_m_*_r_ -_ q_2^ )/r_2^
#f_ = #h_ = atan( z_/(x_2^+y_2^)1/2^ )
e pertanto il tensore metrico covariante è caratterizzato dalla seguente metrica
diagonale ( riporto solo i termini diagonali mentre i restanti sono nulli ):
g_0!0! = 1 -_ #N_ = 1 -_ 2*_m_/r_ + q_2^/r_2^
g_1!1! = -_ ( 1 -_ #N_ )-1^ = -_ ( 1 -_ 2*_m_/r_ + q_2^/r_2^ )-1^
g_2!2! = -_r_2^
g_3!3! = -_r_2^*_sin( #h_ )2^
che è appunto la metrica di Reissner e Nordström
Dato che si tratta di una metrica diagonale esistono delle formule semplificate sia
per calcolare i coefficienti di Christoffel di seconda specie #C_I!h!k! e gli
elementi del tensore di Ricci ovvero R_h!k!.
Per quanto concerne i termini #C_I!h!k! necessari per descrivere il moto di
una particella nello spazio deformato dalla presenza del buco nero, ricordo che in caso
di metrica diagonale è meno equivoco esprimere gli elementi diagonali come
elementi di una funzione dipendente dall'indice sulla diagonale ossia:
g_k!k! = g(k)
g_K!K! = 1/g(k)
Questa simbologia è utile per non cadere nell'errore di applicare la regola della
sommatoria degli indici uguali ( anche se di natura diversa ossia uno covariante e
l'altro controvariante). Date le quattro funzioni g(0), g(1), g(2) e g(3), i
termini di Christoffel sono dati dalle seguenti espressioni semplificate:
#C_H!m!k! = 0 ; se h ≠ m ≠ k
#C_K!m!m! = -_ g(m)k°/(2*_g(k)) ; se m ≠ k
#C_M!m!k! = #C_M!k!m! = g(m)k°/(2*_g(m))
dove, con g(m)k° si intende la derivata parziale ordinaria di g(m) rispetto alla coordinata x_K!.
Riporto nel seguito i vari coefficienti di Christoffel non nulli, calcolati con la suddetta regola:
Termine di Christoffel #C_#0!h!k!
#C_#0!0!1! = #C_#0!1!0! = ( m_ -_ q_2^/r_ )/(r_2^ -_ 2*_m_*_r_ + q_2^ ) = g(0)1°/(2*_g(0))
Termine di Christoffel #C_#1!h!k!
#C_#1!0!0! = ( 1 -_ 2*_m_/r_ + q_2^/r_2^ )*_( m_ -_ q_2^/r_ )/r_2^ = -_g(0)1°/( 2*_g(1))
#C_#1!1!1! = -_(m_ -_ q_2^/r_ )/( r_2^ -_ 2*_m_r_ + q_2^ ) = -_g(1)1°/( 2*_g(1))
#C_#1!2!2! = -_( r_ -_ 2*_m_ + q_2^/r_ ) = -_g(2)1°/( 2*_g(1))
#C_#1!3!3! = -_( r_ -_ 2*_m_ + q_2^/r_ )*_sin( #h_ )2^ = -_g(3)1°/( 2*_g(1))
Termine di Christoffel #C_#2!h!k!
#C_#2!2!1! = #C_#2!1!2! = 1/r_ = g(2)1°/( 2*_g(2))
#C_#2!3!3! = -_ sin( #h_ )*_cos( #h_ ) = -_g(3)2°/( 2*_g(2))
Termine di Christoffel #C_#3!h!k!
#C_#3!3!1! = #C_#3!1!3! = 1/r_ = g(3)1°/(2*_g(3))
#C_#3!3!2! = #C_#3!2!3! = cos( #h_ )/sin( #h_ ) = g(3)2°/(2*_g(3))
Anche il tensore di Ricci assume una espressione particolarmente semplice
dato che risultano non nulli solo gli elementi diagonali:
R_#0!0! = q_2^/r_4^
R_#1!1! = q_2^/r_4^
R_#2!2! = -_ q_2^/r_4^
R_#3!3! = -_ q_2^/r_4^
Da cui si vede immediatamente che l'invariante
R è nullo.
Per evidenziare il fatto che possono esistere regioni dello spazio in cui la
gravitazione produce una accelerazione repulsiva bisogna innanzi tutto
ricordare la formula generale con cui si esprime la legge di Newton in
coordinate curvilinee relativistiche.
Si esprima innanzi tutto la derivata ordinaria della velocità che chiamiamo
accelerazione ordinaria per distinguerla dalla accelerazione covariante ossia
la derivata totale covariante del quadrivettore velocità derivato rispetto
al tempo proprio della particella.
La accelerazione ordinaria, indicata con w_H!, è data da:
w_H! = u_H!#S°
dove con s_ si è indicato il tempo proprio della particella ed è stato scritto
maiuscolo per segnalare che l'indice non è un insieme di valori, come nel caso della derivata
parziale, ma la derivazione è totale ( non parziale).
La relazione tra derivata covariante ( che produce grandezze tensoriali ) e derivata
ordinaria, per quanto concerne la quadriaccelerazione ordinaria è:
u_H!#S§ = u_H!#S° + #C_H!m!k! *_ u_M! *_ u_K!
e dunque la legge di Newton in ambito relativistico generale, espressa dalla
( apparentemente ) semplice formula ( essendo #l_ la massa della particella ):
#l_*_u_H!#S§ = f_H!
va
tradotta nella formula più complicata ma di effettivo uso pratico:
u_H!#S° + #C_H!m!k! *_ u_M! *_ u_K! = f_H!/#l_
L'indice corrispondente alla variabile spaziale r_, nel nostro caso, è l'indice 1 per cui,
per capire se la particella è attratta o respinta dal buco nero consideriamo, per semplificare
la formula, una particella neutra, insensibile alla carica del buco e quindi
tale per cui f_H! = 0. L'equazione da risolvere diventa indipendente dalla massa #l_ della
particella ed in questo caso è:
w_#1! + #C_#1!m!k! *_ u_M! *_ u_K! = 0
Per semplificare ulteriormente l'analisi immaginiamo che la particella sia ferma
e dunque supponiamo che la sua quadrivelocità sia data dalle quattro
componenti [1, 0, 0, 0 ] ossia u_#1! = u_#2! = u_#3! mentre u_#0! = 1.
In questo caso l'equazione si semplifica ulteriormente e, portando a primo membro
l'unico termine di Christoffel non moltiplicato per quantità nulle, si ha:
w_#1! = -_ #C_#1!0!0!
Dunque se #C_#1!0!0! è positivo l'accelerazione della particella è attrattiva ossia la
particella viene spinta in direzione contraria al verso dell'asse r_ ma se
#C_#1!0!0! diventa negativo l'accelerazione tende ad allontanare la particella dal buco nero
e nel cambiare segno ci sarà una distanza per cui #C_#1!0!0! diventa nullo ossia
la particella non viene nè attratta nè respinta ossia si ha un punto
di equilibrio che per una particella neutra è sempre instabile ma che può risultare
stabile se la particella possiede a sua volta una carica opposta a quella
posseduta dal buco nero.
Esaminiamo dunque l'andamento di #C_#1!0!0! nel caso del buco nero di
Reissner-Nordström. L'equazione diventa:
w_#1! = -_ ( 1 -_ 2*_m_/r_ + q_2^/r_2^ )*_( m_ -_ q_2^/r_ )/r_2^
che può essere scritta così:
w_#1! = ( (1 -_ m_/r_)2^ + ( q_2^ -_ m_2^ )/r_2^ )*_( q_2^/r_ -_ m_)/r_2^
Per r = q_2^/m_ l'espressione si annulla e se q_ > m_ il primo fattore non diventa
mai inferiore a zero ossia resta sempre positivo da 0 ad infinito.
Per valori di q_ piccoli rispetto a m_ si verifica il fenomeno
dell'orizzonte degli eventi ma immaginiamo che, viceversa, il valore di q_ sia superiore
ed anzi MOLTO superiore al valore di m_. La conseguenza sarà che il segno dell'espressione
sarà sempre determinato dal segno del fattore ( q_2^/r_ -_ m_) e dunque per r_
sufficientemente piccolo quel fattore sarà positivo e la accelerazione gravitazionale,
diventando positiva, avrà effetto repulsivo.
Conclusione: perché temere la nudità ?
Spero di aver dimostrato, al di là di ogni ragionevole dubbio di svista nel fare i passaggi o
di errori concettuali, che la soluzione del buco nero carico ma non rotante e molto probabilmente
anche la soluzione del buco nero carico e dotato di spin, per certi valori di massa e carica,
genera accelerazioni gravitazionali repulsive a piccolissima distanza dalla
singolarità. Ovviamente credo che a queste conclusioni siano arrivati, come
ipotizza Funaro, in quasi cento anni di Relatività Generale, anche molte altre persone che però
( forse temendo di gettare discredito sulla R.G. ) non si sono curate molto
di documentare questo strano fenomeno... solo apparentemente
strano fenomeno, per me invece... benefico e salvifico.
Io trovo che priva di senso fisico sia, piuttosto, la soluzione di Schwarzschild
e tutte le complicazioni legate all'orizzonte degli eventi ossia la distanza
alla quale il tensore metrico ha una componente nulla e l'altra
infinita. Esiste tutta una letteratura per
maneggiare queste stranezze che
a me paiono vere assurdità fisiche ! Viceversa una soluzione
che non ammetta orizzonti e renda possibile guardare il buco nero, la nuda singolarità,
dall'infinito la trovo fisicissima ... tonto che sono ! Mi si dirà: ma il tuo allora
sarebbe non un buco nero ma un buco bianco perché qualunque particella, carica o neutra,
viene respinta via dall'antigravità e dunque... il buco nero farebbe puro
skettering.. dunque è bianco !
Ma non è vero ! Ci stiamo dimenticando dell'irraggiamento
e della capacità del buco di funzionare da...lente gravitazionale.
Una particella carica che cadesse sul buco nero ( pardon ... bianco)
irraggerebbe all'impazzata e quindi
avrebbe grandissima probabilità di venire catturata definitivamente dal
buco juventino aggiungendosi a tutte le altre che lo costituiscono. Per quanto concerne
un fotone, penso che potrebbe essere riflesso e tornare all'infinito
magari sotto forma di onda diffusa in tutte le direzioni e dunque
la probabilità che una parte dell'energia torni indietro all'osservatore posto all'infinito
potrebbe essere bassissima. Dunque anche un enorme aggregato di buchini neri,
collassati fino a distanze enormemente ravvicinate, si comporterebbe come
un buco nero veramente nero pur essendo fatto da una enorme quantità
di buchini bianchi.
In un buco nero di questo tipo sarebbe mantenuta la
conservazione dei numeri quantici che impediscono al protone di decadere
dissolvendosi in pura energia... Anche nel più denso aggregato di buchini
neri ogni quark manterrebbe la sua identità... e questo a me piace molto
di più dell'idea di avere una singolarità unica, di massa ciclopica, capace
di fungere da tritatutto dei singoli quark...
Insomma io trovo più credibile l'ipotesi che in natura esistano solo
buchini dotati di una qualche carica: se quark e leptoni carichi appunto...
la carica elettrica o, se neutrini elettricamente neutri, una qualche carica
di un campo... elettrodebole ( per dargli un nome ...).
In fisica matematica il campo elettromagnetico è solo uno dei tanti
possibili campi.... quello di maggior popolarità perché più facilmente
misurabile e frequentemente individuato. Ma esistono i campi mesonici ( Yukawa docet )
o i campi a fotoni pesanti
ossia il campo di Proca... ( mi piacerebbe leggere per esempio
questo articolo del 1984:
Yukawa potential in a Schwarzschild background )
insomma i fisici hanno una notevole varietà di campi
da utilizzare nei loro modelli... La gravitazione fungerebbe, per me, da "collante"
di tutti i campi generati da qualsiasi tipo di carica. Infatti un
campo creato dalla più esotica delle cariche agisce, tramite la gravitazione, su
tutte le particelle , indistintamente, incluse quelle che non posseggono
nessuna carica di quel tipo di campo....
Ma a parte questo esiste un'altro motivo per cui vedrei con favore la
gravitazione classica capace di essere anche repulsiva... la possibilità di
inventare modelli di basso costo computazionale e forse non in grado
di descrivere ogni aspetto della realtà ma comunque modelli capaci di
fornire risultati più precisi della meccanica classica. Attualmente applicare
modelli quantistici classici o quantistici relativistici comporta un
incremento ... astronomico.. del costo computazionale ed io ritengo
invece che tra il modello della meccanica classica e questi modelli,
voraci all'inverosimile di potenza di calcolo, ci sia spazio
per modelli con qualche... difettuccio... ma comunque migliori
del modello della meccanica classica pur richiedendo
pochi ordini
di grandezza in più di potenza di calcolo. Per esempio... un modello 10 volte
più oneroso di un modello basato sulla meccanica classica
potrebbe non essere di uso pratico con i calcolatori dei giorni nostri ma...
basterà solo aspettare pochi anni o decenni e... i calcolatori
che servono ci saranno...