Spiegazione dell'opzione 0 ovvero test del moto gravitazionale bidimensionale

Questo problema test del Runge Kutta di Cash e Karp utilizzato nel solutore di equazioni differenziali alle derivate ordinarie è il moto di un pianetino di massa trascurabile attorno ad un ipotetico Sole posto nell'origine. L'asse maggiore dell'ellisse a è unitario e l'unico parametro arbitrario è e ossia l'eccentricità dell'orbita . Il semiasse minore vale b = √( 1 − e · e ). Qui viene riportata la tabella dell'orbita in funzione della anomalia eccentrica η che determina anche il valore del tempo. Nella pratica il tempo viene usato come variabile indipendente e la anomalia eccentrica η viene dedotta dalla relazione detta equazione di Keplero.

t	x	y	vx	vy
η − e · sin(η)	cos(η) − e	sin(η) · √( 1 − e · e )	− sin(η) ( 1 − e · cos(η) )	cos(η) · √( 1 − e · e ) ( 1 − e · cos(η) )

Si consideri il seguente sistema di quattro equazioni differenziali a cui aggiungo l'equazione differenziale che determina la variabile indipendente ovvero il tempo:

`y[0] = 1
`y[1] = y[3]
`y[2] = y[4]
`y[3] = −y[1] / ( y[1]² + y[2]² )^3/2
`y[4] = −y[2] / ( y[1]² + y[2]² )^3/2

In altre parole le variabili del vettore y[ ] sono [ t, x, y, v_x, v_y ]
Le condizioni iniziali al tempo t = 0, sono scelte in modo che il pianetino si trovi al perielio. Pertanto:

y[0] = 0
y[1] = 1 − e
y[2] = 0
y[3] = 0
y[4] = ((1 + e) / (1 − e))^1/2

Il semiasse maggiore a vale 1 e il periodo T vale 2·π.


Per vedere come è stato specificato questo problema guardare il file rk-ode1-sistemi.txt che raggruppa le definizioni delle function Javascript integrabili attualmente dal solutore.

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Vedere in rete: http://www.elegio.it/mc2/rk/rk-ode1-opzione0.html