Per tassellare con pentagoni usando tre tipi di triangoli

Per tassellare con quadrati o con esagoni occorre un solo tipo di piastrella, appunto quadrate o esagonali mentre per tassellare con ottagoni occorrono due tipi di piastrelle ossia ottagonali e quadrate di opportuna dimensione. Viceversa per usare il pentagono occorrono tre tipi di tessere e la piastrellazione a pentagoni è praticamente sconosciuta in ambito artistico e questo, a mio parere, è veramente un peccato...

Se P è il lato del pentagono, indico con L la grandezza 2*P*cos(72°) = 2*P*cos(2*PI/5) = P*(sqrt(5)-1)/2 = P*0.6180339887498949 ed indico con R il raggio del cerchio circoscritto al pentagono ovvero R = P/(2*sin(36°)) = P/(2*sin(PI/5)) = P*0.8506508083520399

Grandezze trigonometriche importanti:

sin(18°) = sin(PI/10) = cos(72°) = (sqrt(5) − 1)/4 = 0.30901699437494745

cos(36°) = cos(PI/5) = sin(54°) = (sqrt(5) + 1)/4 = 0.8090169943749475

sin(36°) = sin(PI/5) = cos(54°) = sqrt(10 − 2*sqrt(5))/4 = 0.5877852522924731

Da cui derivano questi tre tipi di triangoli, i primi due di uso piuttosto raro mentre il terzo molto più usato dato che, con cinque triangoli del terzo tipo si crea la figura del pentagono grande ossia di base.

1. ) Triangolo isoscele con due lati lunghi P ed un lato lungo L ovvero con angoli [ 72, 36, 72 ]. Se diamo a P il valore di 327 allora L vale L=2*P*Math.sin(Math.PI/10) = 202.0971143212156 ossia con buona approssimazione 202. Dunque questo triangolo vale 327,202,327.
2. ) Triangolo isoscele con due lati lunghi L ed un lato lungo P ovvero con angoli [ 36, 108, 36 ]. Ossia, approssimativamente 202,327,202.
3. ) Triangolo isoscele con due lati lunghi R ed un lato lungo P ovvero con angoli [ 54, 72, 54 ]. Dalla formula R = P/(2*Math.sin(Math.PI/5)) si ricava che dato P=327, R=278.16281433111703 ossia approssimativamente il triangolo vale 278,327,278.

In alternativa basta sostituire al terzo triangolo isoscele con base P e lati R un pentagono di raggio del cerchio circoscritto R e lato P ( ossia usando P = 327, raggio circa 278 ). Il primo ed il secondo triangolo sono però indispensabili.

Il pentagono piccolino al centro della stella a 5 punte si ottiene con un triangolo di tipo 1.) e due triangoli di tipo 2.) ossia con raggetto S = R*L/P = L/(2*sin(PI/5)) = P*0.5257311121191336 che usando P = 327 e L = 202 circa ed R = 278 circa, vale 171.9140736629567 ossia circa 172, ma questo pentagono piccolino non riesce ad essere alternativo del tutto al triangolo 2.) per cui può essere usato come quarta tessera ma comunque come tessera aggiuntiva alle altre tre.

Notare che una stella è fatta da sei triangoli del primo tipo e due triangoli del secondo tipo che, in effetti, è il triangolo meno usato ma ... necessario.

Per ottenere tessere di cartoncino con una stampante

Al pentagono rosso ho sovrapposto il triangolo blu identico al terzo tipo di triangolo. Ho voluto evidenziare come sia possibile ottenere un pentagono con cinque triangoli del terzo tipo.

Per avere una idea ( approssimata ma piuttosto fedele ) dei tre triangoli, usare questi spostamenti:

1. l 103 -317 l 103 317 l -206 0
2. l 166.67 -121 l 166.67 121 l -333.34 0
3. l 166.67 -229.4 l 166.67 229.4 l -333.34 0

Per ottenere molte tessere stampare questa figura

Per creare questa figura ho usato il seguente attributo d della marca <path>

 d="M 480 480
    m 0 -450    l 265 86    l -164 225  l -101 -311  
    m 265 86    l 163 225   l -327 0    l 164 -225  
    m 163 225   l -327 0    l 63 192    l 264 -192  
    l 0 278     l -264 -86  l 264 -192  
    m 0 278     l -163 225  l -101 -311 l 264 86  
    m -163 225  l -101 -311 l -164 119  l 265 192  
    l -265 86   l 0 -278    l 265 192  
    m -265 86   l -265 -86  l 265 -192  l 0 278  
    m -265 -86  l 265 -192  l -163 -119 l -102 311  
    l -163 -225 l 265 -86   l -102 311  
    m -163 -225 l 0 -278    l 265 192   l -265 86  
    m 0 -278    l 265 192   l 62 -192   l -327 0  
    l 163 -225  l 164 225   l -327 0  
    m 163 -225  l 265 -86   l -101 311  l -164 -225  
    m 265 -86   l -101 311  l 202 0     l -101 -311  
    m 0 622     l -163 -119 l 62 -192   l 101 311  
    l 101 -311  l 63 192    l -164 119  m 0 -172"

Un esempio di tassellazione pentagonale

Almeno per avere una idea di cosa è possibile fare. Notare il vortice attorno al pentagono centrale di questa figura...

A questo punto non c'è altro da dire dal punto di vista geometrico mentre tutto sta alla sensibilità artistica di chi volesse fare vetrate basate sul pentagono o piastrellare pavimenti, pareti o soffitti...

Giampaolo Bottoni :
gpbottoni@gmail.com