Moto relativistico uniformemente accelerato

G.Bottoni, settembre 1998 ( modifiche luglio 2005, maggio 2008 )

Il moto uniformemente accelerato è quello che potrebbe descrivere l'avventura di una "realistica" anche se fantascientifica astronave ad antimateria, dotata di motori capaci di accelerarla in modo uniforme per lunghi periodi di tempo.

L'accelerazione non potrebbe superare troppo quella di gravità per non sottoporre gli astronauti a sforzi fisici disumani. Viceversa una accelerazione costante di 1 g ( ossia 9.8 m/s 2) renderebbe la vita sull'astronave simile a quella sulla Terra, quindi molto più naturale di quella che fanno gli attuali astronauti delle stazioni spaziali, costretti a vivere in assenza di gravità. Per dare un tocco di concretezza si potrebbe pensare ad una astronave che conservi in formidabili "bottiglie magnetiche", grosse masse di antimateria come combustibile e corrispondenti masse di materia come "comburente"; il comburente, per ridurre la massa dell'astronave, potrebbe anche essere "aspirato" dallo spazio stesso in cui l'astronave si muove.
Dalla reazione materia-antimateria l'astronave potrebbe trarre l'energia per imprimersi una accelerazione costante per lunghi periodi di tempo.

Quanto è scritto nel seguito è assolutamente rigoroso (spero... ;-) ) e può servire a chiarire alcuni misteri della Teoria della Relatività ristretta (formulata come tutti sanno, nel 1905 da Albert Einstein).
In sostanza quanto segue ridà un filo di speranza agli uomini condannati, a causa della velocità limite della luce, a non poter raggiungere le stelle appena un po' distanti dal Sole o a varcare i confini della nostra galassia, la Via Lattea. Poichè quasi tutte le stelle visibili ad occhio nudo stanno a più di 100 anni luce da noi (e spesso MOLTO MOLTO di più) e poichè non è mai possibile superare la velocità della luce (300000000 m/s) praticamente l'intero universo sembrerebbe irraggiungibile perchè ogni viaggio durerebbe enormemente più dell'intera vita dell'astronauta.

Fortunatamente NON è vero perchè la Teoria della Relatività mostra anche che avvicinandosi alla velocità della luce la vita dell'astronauta si allunga; egli non se ne accorge ma tutto, in lui, osservato dai compagni sulla Terra, rallenta e quindi l'astronauta...non invecchia e quindi riuscirà a raggiungere le Nubi di Magellano, una galassia distante milioni di anni luce, ancora relativamente giovane mentre, sulla Terra, il genere umano, per qualche guerra nucleare o qualche errore genetico si sarà da millenni estinto.

Per capire come questo NON SIA FANTASCIENZA bisogna capire quanto segue...

Dato che il moto è supposto unidimensionale, detta c la velocità della luce, la metrica pseudoeuclidea sarà:

(ds)² = (c·dt)² − (dx)²

dove ds rappresenta l'intervallo infinitesimo invariante rispetto ad una qualsiasi trasformazione di Lorentz.
Se definiamo la quadrivelocità come:

| u> = ( (c·dt)/(ds) , (dx)/(ds) ) = (ut , ux)

dove, un po' arditamente, si usa una notazione alla Dirac per un vettore controvariante (ossia | u> ) e quindi il corrispondente vettore covariante lo si indica con <u | e si pone che sia:

<u | = ( (c·dt)/(ds) , − (dx)/(ds) )

Si noti che <u | u> = 1 cioè il vettore tetra_velocità ha norma pseudoeuclidea unitaria. Se chiamiamo ut ed ux le componenti di | u> allora la tetra_accelerazione, indicata con il vettore | w> vale:

| w> = ( d/ds (ut) , d/ds (ux) ) = ( wt , wx)

e deve valere la relazione (che deriva dall'essere <u | u> = 1 )

<w | u> = 0

cioè, (tenendo conto che ux/ut = v/c ) nel moto unidimensionale:

c·wt = v·wx

essendo v = (c·ux)/ut la velocità convenzionale ossia la derivata della posizione rispetto al tempo.
La tetra_velocità deve dunque essere sempre ortogonale alla tetra_accelerazione anche nel sistema dell'osservatore fermo rispetto all'astronave.
Se ipotizziamo che l'accelerazione sia una costante nel sistema di riferimento solidale con gli astronauti e che velocità e posizione iniziali della astronave siano entrambi nulle, allora poniamo che, nel sistema di riferimento dell'astronave, sia:

| w> = ( 0, a/c² )

e nello stesso sistema sia:

| u> = ( 1, 0 )

e pertanto | u> e | w> siano tra loro ortogonali come deve essere, anche nel sistema in movimento.
La quantità <w | w> è un invariante e pertanto sempre, anche nel sistema dell'osservatore terrestre, deve essere:

<w | w> = −a²/c4

ovvero, introducendo le componenti della tetra_accelerazione:

wt² − wx² = −a²/c4

Ma abbiamo visto che wt può essere espresso in funzione di wx tramite la relazione di ortogonalità <w | u> = 0 ossia:

(v/c)²·wx² − wx² = −a²/c4

ovvero, estraendo la radice quadrata:

( 1 − v²/c²)½ · wx = a/c²

ed essendo wx = (dt/ds)·(d(ux)/dt) = (1/(c·(1−v²/c²)½ ))·(d(ux)/dt) si semplificano le radici quadrate e si ottiene:

d(ux)/dt = a/c

per cui integrando:

ux = t·a/c

dove t è il tempo dell'osservatore sulla Terra e vale 0 al momento del decollo dell'astronave.

Ma ux = v/(c·(1 − v²/c²)½ ) e quindi, risolvendo la seguente equazione:

v/( 1 − v²/c²)½ = a·t

rispetto all'incognita v, si trova:

v = a·t/( 1 + (a·t/c)²)½

Essendo v la velocità classica (d/dt)X = v basta integrare rispetto a t per trovare lo spazio percorso nell'ipotesi che per t = 0 anche X = 0.
Si ha:

X = (c²/a) · ( ( 1 + (a·t/c)² )½ − 1).

Il tempo proprio degli astronauti è l'integrale tra 0 e t del tempo proprio infinitesimo ossia l'arco invarante di traiettoria fratto c ossia:

∫0t ds/c = ∫0t ( 1 − v²/c² )½ · dt

ossia sostituendo a v la sua espressione:

∫0t 1/( 1 + (a·t/c)² )½ · dt = (c/a)·log( a·t/c + ( 1 + (a·t/c)² )½ )

Per t molto grandi il tempo proprio aumenta in modo proporzionale al logaritmo di t.

Qualche considerazione numerica chiarisce il fenomeno.
Se c= 3.0E+8 m/s e si pone a = 10 m/s2 allora c/a rappresenta un tempo di 3.0E+7 secondi ossia circa un anno.
Dopo un anno di accelerazione continua costante la velocità è diventata circa c/2½ ossia 212000 km/s e si va avanti così secondo quanto è calcolabile col seguente programma Fortran 90:



Per usare il programma scritto in Fortran 90 (come degno e giusto è, equo e salutare ... quando si fanno calcoli seri...) procurarsi un compilatore (gratuito). Suggerisco il G95 ma volendo spendere la scelta è ampia.

Conclusione

Uscire dalla galassia si può: basta avere enormi quantità di antimateria e motori fotonici giganteschi. L'antimateria a contatto con la materia si trasforma completamente in energia e quindi l'astronave dovrà possedere perfettissime bottiglie magnetiche in cui tenere intrappolata l' antimateria fino al momento di mandarla nei motori.
Questo, attualmente è enormemente al di là delle possibilità umane ma cosa avrebbe detto un uomo pur coraggioso e sognatore come Cristoforo Colombo a chi gli avesse predetto che gente del continente che lui non si sarebbe accorto di scoprire sarebbe stata capace, 500 anni dopo, di passeggare e di girare in auto sulla Luna?

Vedere anche

Peccato che i cristiani, in un lontano concilio ai tempi di Giustiniano e di sua moglie Teodora, optarono per assumere come dogma il fatto che ogni anima si incarna una sola volta in un corpo umano. Se Teodora non avesse fatto pressioni sul Papa di allora, a mio parere, la credibilità del cristianesimo sarebbe molto ma molto maggiore.
Attualmente sappiamo che la nostra galassia contiene qualcosa come 100 miliardi di Soli e che nell'Universo ci sono almeno un miliardo di galassie come la nostra. Ne deriva che di stelle, nell'Universo, ce ne sono almeno circa 1.0e20 ovvero un 1 seguito da venti ( ribadisco: 20) zeri. Posso ammettere che molti Soli siano inadatti ossia non abbiano un pianeta circa simile alla Terra, un pianeta con acqua, ossigeno, con temperatura media attorno ai 300 °K, illuminato da un flusso di luce di circa 1 kW al metroquadro... Però se solo un Sole ogni 10 miliardi avesse una Terra piuttosto simile alla nostra, vorrebbe dire che, nell'Universo attualmente ci sarebbero circa dieci miliardi di Terre come la nostra. Però non tutte le Terre potrebbero essere allo stesso stato di maturazione della nostra. Sulla Terra la nostra civiltà, ossia l'uomo, si è manifestato dopo circa 5 miliardi di anni... ma se statisticamente immaginiamo che ogni pianeta adatto alla vita si compatti dalle polveri cosmiche alla cadenza di uno ogni due anni, che esista per 10 miliardi di anni e che, all'età sua di 5 miliardi, compaia la vita intelligente, ecco che i conti si fanno facili. Dato che l'Universo esiste da 15 miliardi di anni i vari pianeta Terra sono, alcuni già morti ( quelli nati più di 10 miliardi di anni fa ) molti sono in fase di nascita ( ne nasce uno ogni due anni ) e il processo di nascita e morte di pianeti simil_Terra andrà avanti ancora per miliardi di anni. L'importante, dal punto di vista della vita intelligente è che deve esistere nell'Universo, mediamente rispetto alla nostra Terra, una Terra più acerba di 2 anni, una più acerba di 4, una più acerba di 6 anni etc. e, simmetricamente, una più matura di 2 anni, una più matura di 4 anni etc.. Preciso questo per dire che non solo è probabile che esistano altre simil_Terre ma addirittura almeno qualche centinaio di simil_Terre su cui l'Umanità è entrata nell'era tecnologica come noi che da solo un secolo, circa, abbiamo cominciato a capire la fisica della cosmologia e, per lo meno, conosciamo la teoria della relatività ristretta e la teoria della relatività generale.
Insomma, almeno a livello statistico, è ragionevole credere che esistano decine, centinaia di Umanità evolute e dunque in grado di fare Filosofia e di interessarsi alle questioni metafisiche: Dio esiste ? Come è fatto ? Ci Parla ? Esiste un premio per gli umani che seguono i suoi comandamenti ?
Aggrappandomi alla mia debole razionalità penso che, siccome la verità metafisica è indecidibile con i metodi sperimentali della Fisica, è indispensabile credere che sia necessario che Dio si manifesti ossia compia dei miracoli tali da fare capire all'uomo che lui veramente esiste, è fatto in un certo modo, ragiona in un certo modo, vuole premiarci, punirci, distruggerci, renderci eterni se faremo i buoni etc...
Insomma, senza una Rivelazione ( che sta alla Metafisica come l'esperimento sta alla Fisica ) ogni congettura lascia il tempo che trova. Naturalmente la Fede è indispensabile ossia bisogna credere che la Rivelazione ( per dire... quella cristiana ) sia stata una vera Rivelazione.... ma non vorrei divagare troppo su questi aspetti...
Mettendomi nei panni ( un po' larghi) di un Galileo Galilei che desideri credere ma non possa rinunciare alla ragione eccomi qui a consigliare al Papa ( e ai signori Vescovi tutti ) di lasciare perdere definitivamente le illazioni tolemaiche ed accettare il punto di vista copernicano. Ma un copernicanesimo cosmologico, pensato alla luce del fatto che, almeno per quello che si sa ora dell'Universo, potrebbero esistere decine se non centinaia di simil_Terre con umanità più che mature per attendersi la Rivelazione divina.
Naturalmente potrebbe darsi che Dio non abbia neppure in programma di rivelare la sua natura Una e Trina nel 90% dei pianeti simil_Terra ma pensare che abbia voluto rivelarsi solo qui, sull'unica Terra dotata di una Galilea, di una Gerusalemme, di una stirpe di David etc. etc. mi sembra un poco offendere la giustizia dell' Onnipotente.
Da tutto questo grosso pasticcio, reso più ingarbugliato dal fatto che è sì possibile pensare ai viaggi spaziali ma è molto difficile che dei missionari astronauti riescano a portare il Vangelo ai popoli di altre galassie... a parer mio non si esce che ipotizzando la reincarnazione per tutti gli esseri umani ( ossia una Resurrezione a bassa cadenza ma non riservata solo al Figlio dell'Uomo ).
Notare: nulla di punitivo come in altre religioni in cui l'anima vive le reincarnazioni come premi o punizioni dei peccati commessi in altre vite... La reincarnazione cristiana è solo un modo dato all'anima per trovare la Via, la Verità, la vera Vita ossia per conoscere profondamente il Verbo e tramite lui Dio, Uno e Trino. Il peccato originale non è un vero peccato ma solo la scelta di Adamo e di Eva di voler imparare a conoscere Dio non per "rivelazione infusa" come succede ad angeli e diavoli ed a tutti gli spiriti superiori non umani, ma per progressiva scoperta e libera scelta individuale. Le anime degli esseri umani sono entità che esistono nelle molte dimensioni dell'Universo ( è la relatività generale che suggerisce l'esistenza di altre dimensioni che influiscono sull'Universo a quattro dimensioni ) e queste entità spirituali ma... neppure troppo, si abbarbicano e traggono nutrimento dal grande tronco dell'Universo fisico ( caratterizzato dalle nostre solite quattro dimensioni spazio-temporali ed un po' ondulato dalla presenza di energia che, addensatasi nelle masse stellari e nei buchi neri, accartoccia il cronospazio...).
Come similitudine poetica vedo ogni anima come una edera che trae luce spirituale dalle foglie illuminate dal Sole divino ma che trae la linfa dalle radici abbarbicate al Grande Tronco... Ogni radice è una vita che si abbarbica qui e là salendo sul Grande Tronco che cresce nel tempo...
Fuori dalle metafore sempre un po' zoppicanti troverei logico ristrutturare il catechismo eliminando ciò che deriva dagli errori tolemaici ma salvando molto, anzi tutto il succo del messaggio del Messia, vero uomo e vero Dio.
Rientrerebbe nelle prerogativa dell'essere vero uomo il fatto del potersi reincarnare a volte a brevissima distanza dalla propria stessa morte ( la Resurrezione pasquale ) ma comunque di norma per poter portare la Rivelazione alle molte Umanità disseminate nel Cosmo le quali, senza Rivelazione, mai potrebbero immaginarsi quella caratteristica essenziale al dialogo tra Dio e gli umani ossia il fatto che Dio è Uno e Trino e che manda la seconda Persona per comunicare con gli uomini assumendo, sui vari pianeti, corpi umani nati da donne.
Già...Maria ossia il ruolo della Madre di Dio richiederebbe un forte ridimensionamento in un cosmo_cristianesimo basato sulla reincarnazione ? A prima vista forse sì ma... in realtà non credo ed anzi un cosmo_cristianesimo potrebbe rendere molto più logico il ruolo tutto particolare dell'anima di Maria... l'unica anima, l'unico spirito umano ( non angelico e non diabolico ) concepita senza peccato originale. Maria, ossia la sua vera essenza ossia la sua anima, non avrebbe bisogno di Rivelazione perché, essendo senza peccato, SA PERFETTAMENTE CHE DIO ESISTE. Dunque è logico che Dio si incarni in lei perchè lei è il solo essere umano che, sapendo la Verità, non può peccare pur essendo dotata di pieno, libero arbitrio. Maria sa perfettamente cosa le giova ( l'essere santa ) e cosa le nuocerebbe ( peccare ) e liberamente sceglie secondo logica: non pecca mai.
Anche la sua accettazione di svolgere il suo ruolo può essere capito in tutta la sua grandezza di libero atto non coartato da Dio. Sarebbe possibile addirittura pensare che l'anima di Maria si sia incarnata più volte sulla Terra, in esplorazione del momento giusto per dare all'Umanità suo figlio, destinato al Golgota ma anche alla Resurrezione rivelatrice. La scelta di Maria di partorire Gesù potrebbe essere dunque una scelta di cui può giustamente andare orgogliosa perché fatta in piena libertà: una maternità responsabile che dovrebbe dare motivo di meditazione a certe femministe che, in nome della libertà di scelta, inducono le donne a scelte innaturali, dolorose per loro e per la seconda persona della S.S. Trinità che, come essere umano sa soffrire ed ha sofferto per portarci la Rivelazione.
Altra obbiezione alla congettura della reincarnazione sarebbe l'idea che la reincarnazione non renda tassativo l'obbligo di ogni essere umano di cercare la santità e rinnegare il peccato ( come si giura nel Battesimo).
Anche da questo punto di vista posso avanzare solo ipotesi ma ipotesi assolutamente non distruttive dello spirito di fondo del messaggio cristiano. Dio potrebbe premiarci per il bene fatto nelle varie esistenze ma il premio fondamentale potrebbe dipendere dalla più santa delle vite vissute ( come nella gara olimpica di salto in lungo: conta il salto migliore ). Le vite passate potrebbero servire per ottenere il perdono di Dio in caso di una vita sbagliata e terminata con gravi colpe di cui non ci sia potuti pentire in tempo. I meriti passati ci potrebbero consentire di proseguire il nostro cammino ossia le successive reincarnazioni a patto che le colpe non siano tali da indurre Dio a non farci reincarnare più fino al giorno del Giudizio Universale dove l'anima dannata verrà condannata alla distruzione o alla cecità eterna: perderebbe cioè la coscienza di se stessa, la propria identità e dunque la possibilità di godere indefinitamente della luce di Dio.
In altre parole è la modalità del giudizio che spiega il perchè, nei Vangeli, nulla si dica di esplicito della possibilità delle anime di reincarnarsi. Per ciascuno di noi è importante vivere la nostra vita come se fosse l'unica vita a nostra disposizione. Sinceramente, anche se il Messia avesse voluto raccontare agli apostoli più di quello che era necessario alla Rivelazione non credo che ci sarebbe riuscito a meno di non compiere miracoli, infusioni di Spirito Santo, sostanzialmente inutili per la restante Chiesa futura. Come parlare a della gente pura di cuore ma umanamente piuttosto ottusa dei mondi extraterrestri, dell' Universo, delle galassie?.. Gesù aveva a disposizione un materiale umano non da premio Nobel... gente che stentava a capire il senso delle sue parabole... Avrebbe potuto tenere lezioni di cosmologia ? E magari, per l'umano desiderio di sfogarsi, di pensare alle future sue reincarnazioni su altre Terre, gli potranno essere sfuggite cose che sarebbero state chiarissime ad alcuni umani odierni... Ma sperare di trovar traccia di tutto questo nei Vangeli...
Per concludere e sottolineare lo spirito di giustizia universale che si potrebbe meglio concretizzare in un cosmo-cristianesimo unificato dalla reincarnazione, vorrei far notare che senza la reincarnazione solo la bontà di Dio potrebbe servire a compensare le mille ingiustizie che gli esseri umani subiscono qui sulla Terra. Soprattutto per chi ha vera Fede ed avrebbe voluto intensamente ascoltare di persona Gesù, essere da lui sfamato, mangiare i suoi pesci miracolosi, il suo squisito vino, il pane consacrato da lui stesso ... che enorme senso di dolore quel vero Fedele dovrebbe provare nel pensare che miliardi di esseri umani non hanno avuto che una possibilità di vivere, di diventare cristiani, di essere battezzati, benedetti, perdonati... e quella possibilità è finita in nulla. Che enorme dolore dovrebbe sentire un vero cristiano al pensiero che milioni di santi non lo sono potuto essere in modo totale, che né Socrate, né Budda né Confucio, giganti di filantropia, abbiano avuto da Dio il dono della vera Fede nel Dio Uno e Trino.
Ma per chi potesse credere nella reincarnazione ci sarebbe la consolazione della certezza ( per Fede ) che anime straordinarie come Maometto, Platone e forse Marx, rovinato dall'ateismo ma amico dei deboli, avranno altre vite da giocare e "punti_paradiso" ( mi si scusi l'analogia consumistica piuttosto irriverente ) da guadagnare per avere una visione sempre migliore, sempre più approfondita dell' Eterno...
E non sarebbe profondamente consolatoria la consapevolezza che Dio non dovrà supplire con miracoli e giudizi infondati per mancanza di fatti, alla mancanza di vera vita libera e cosciente di tanti bambini morti prima che la loro santità potesse manifestarsi e fiorire ? Non più grigi Limbi sterminati, pieni di poveri esserini ingiudicabili perchè esistiti in potenza ma assolutamente non in atto. Certo, il rimpianto di un'occasione di vita perduta, sprecata resterà forte ma sarebbe almeno consolante credere che quell'anima a cui è venuta letteralmente a mancare la Terra sotto i piedi avrà modo di proseguire ancora per il suo lungo cammino di reincarnazioni.
Pur non potendo credere a queste mie congetture ( a meno di non ipotizzare anche che lo Spirito Santo si sia presa la briga di ispirarmi a mia insaputa, benché peccatore e miscredente ) ho cercato di parlare come chi riuscisse veramente a credere in queste mie ipotesi metafisiche che forse, per diventare credibili, avrebbero bisogno della certificazione tradizionale. Grandi, meravigliosi Miracoli con la M maiuscola ! Ma sinceramente non mi sento in grado di farli... So nuotare ma camminarci sopra... ;-)
Basterà solo il suggerimento razionale che un cosmo-cristianesimo così, oltre ad essere più logico e in sintonia con la fisica sarebbe più cattolico ( == universale ) e sarebbe molto ma molto più capace di consolare i poveri, gli afflitti, i malati, i moribondi ???
Amike

Giampaolo Bottoni
poco dopo la Pentecoste 2008